lògica

Lessico

(ant. lòica), sf. [sec. XIV; dal latino logíca, che risale al greco logike (téchnē), (arte) di discutere, di ragionare].

1) Parte della filosofia che ha per oggetto la regolamentazione sistematica delle leggi del pensiero. Per estensione: A) trattato su tale materia filosofica o parte di un sistema filosofico che ne formula i principi: la kantiana. B) Nell'uso comune, capacità di formulare un ragionamento tale che le idee siano organicamente connesse una all'altra; coerenza, razionalità nel discorso: serrata, stringente; discorso di una ineccepibile; argomentazione priva di ; a rigor di , facendo un ragionamento di stretta coerenza. C) Più in genere, modo di ragionare: la dei politici; la tua non mi convince. D) La dei fatti, delle cose, il modo in cui si trovano in reciproca relazione o si concatenano nel corso del loro svolgimento.

2) In informatica, di macchina, le modalità logiche secondo le quali interagiscono le parti di un elaboratore nella risoluzione dei problemi e nell'effettuazione dei compiti a esso affidati.

Filosofia: terminologia

Le espressioni matematica, simbolica, deduttiva, formale sono usate come sinonimi. La differente aggettivazione a volte può essere determinata dall'intenzione di sottolineare uno degli aspetti che hanno caratterizzato la ricerca logica a partire dalla metà del sec. XIX. Così, per esempio, con l'apposizione simbolica si sottolinea l'uso sistematico e generalizzato di simboli; con matematica si mette l'accento sui metodi propri della matematica e ci si richiama alla logica che viene impiegata nello studio della matematica; con formale si fa riferimento alla forma delle argomentazioni e non al loro contenuto. Le specificazioni moderna e contemporanea designano lo sviluppo della ricerca logica a partire rispettivamente dall'opera di G. Boole e da quella di G. Frege e vengono contrapposte a tradizionale che tratta della logica quale è stata tramandata dall'antichità e dal Medioevo. Per la polivalente, vedi polivalente.

Cenni storici: Aristotele

La logica come studio, classificazione e articolazione delle varie parti di un ragionamento per dedurre conclusioni valide trova la sua prima sistemazione in Aristotele. Il termine logica ha denotato nei secoli campi di ricerca differenti così come termini differenti hanno denotato l'ambito di ricerca oggi individuato nella logica. E ciò, sia per le diverse concezioni filosofiche e scientifiche cui fu di volta in volta strettamente collegata, sia per i diversi compiti che le furono via via attribuiti: Aristotele la chiamò “analitica”, gli stoici “dialettica”; Parvopontano identifica uno dei suoi scopi nella padronanza del linguaggio; la logica di Port-Royal la dice volta a dirigere rettamente la propria ragione nella conoscenza; Frege la colloca alla base di una rigorosa fondazione della matematica. In Aristotele la logica diventa una disciplina autonoma, ma già prima di lui vi era stato un uso consapevole di leggi logiche, non però formulate o prese in considerazione in quanto tali, ma considerate al massimo come uno strumento, che non comportava necessariamente uno studio su di essa. Aristotele anzi risulta un momento di sintesi di tutta una serie di sviluppi che si possono schematizzare in due filoni: uno formato dall'analisi del ragionamento e in particolare delle sue condizioni di validità e l'altro dall'analisi del linguaggio. Il primo è caratterizzato dalla dimostrazione e dal tentativo di rendere più funzionale e differenziato il processo inferenziale. Gli ambiti in cui queste esigenze sono più evidenti sono: la matematica, la metafisica e la retorica. Per la matematica e in particolare per la geometria l'esigenza di una minima sistematizzazione delle varie scoperte, così come quella di offrire il supporto di una dimostrazione a determinate verità geometriche, inducevano a un sempre maggior affinamento del processo dimostrativo, ad approfondire determinati suoi elementi costitutivi (per esempio proposizioni generali, definizioni). Non solo cioè era avvertita l'esigenza di un sistema deduttivo, ma la sua realizzazione era nota alla scuola pitagorica e all'Accademia platonica. L'indagine metafisica, per parte sua, man mano che presentava concezioni contrastanti e contrapposte sviluppò sempre più la dialettica, trovando in Platone la sua elaborazione più complessa e presentando in Parmenide, Zenone di Elea, Protagora alcuni dei suoi momenti più significativi. In questo contesto si svilupparono pure l'induzione e le definizioni universali, il cui uso Aristotele attribuì a Socrate (469-399 a. C.). Un ulteriore contributo alla tematica logica prearistotelica venne offerto dalle dispute forensi e politiche dei sec. V e IV, dal movimento sofista e dalla scuola megarica in particolare, con le sue dispute sulla verità o falsità di un'argomentazione. L'altro filone che ebbe gli stessi protagonisti fu l'indagine sul linguaggio, sulla sua sintassi e la sua semantica: si pose in luce l'importanza di un uso corretto delle parole (Protagora), si studiò l'uso dei sinonimi (Prodico), si distinsero il genere dei nomi (Protagora), i vari tipi di enunciati (Protagora); Licofrone indagò sulla copula. Ma fu nell'Accademia e nell'opera di Platone (427-374) che queste indagini trovarono il loro maggior sviluppo e si affrontò la discussione sulle affermazioni e le negazioni, sulla distinzione tra nome e verbo, tra proposizioni vere e false. L'importanza di Aristotele nella storia della logica non sta solo nella ricchezza enorme degli strumenti elaborati, ma nell'aver per la prima volta fissato con sicurezza i confini dell'indagine logica. Suo obiettivo centrale fu l'analisi di che cosa sia scienza. Egli partì dall'analisi del veicolo attraverso il quale si comunica e si esprime la conoscenza, il linguaggio; cercò, poi, d'individuare i legami tra le proposizioni di una data scienza e quindi il problema di come da un enunciato se ne deduca un altro; in terzo luogo si pose il problema di come in ogni scienza si debbano scegliere i primi principi da cui partire per studiare gli oggetti in esame. A questo scopo analizzò la natura di una definizione, di un principio primo, di un assioma. Infine ricercò le relazioni esistenti tra discorso scientifico, politico, poetico ecc. All'interno di una classificazione globale dell'attività intellettuale, quale la peculiarità di ogni singolo discorso? E al di sopra di tutti questi problemi, quali i rapporti tra le strutture linguistiche e la realtà? E ancora: le distinzioni tra categorie linguistiche corrispondono a distinzioni tra enti reali; e i principi fondamentali del ragionamento (per esempio la non contraddizione) hanno un fondamento o meno nelle strutture del reale? È questo il punto d'innesto della logica nella sua metafisica. Aristotele ha trattato queste tesi nelle sue singole opere logiche: le Categorie, sull'interpretazione, Analitici Primi (2 libri), Analitici Secondi (2 libri), Topici (8 libri), Confutazioni sofistiche, che i suoi commentatori denominarono con termine unico Organon (strumento). Di particolare interesse logico è poi il IV libro della Metafisica, in cui si discute il principio di non contraddizione. Nelle Categorie Aristotele espose la sua teoria delle categorie. In Sull'interpretazione è sviluppata la teoria della negazione e quella dell'opposizione, con i primi riferimenti all'uso di variabili, metodo poi preminente negli Analitici Primi, dove Aristotele sviluppò la teoria del sillogismo assertorio e modale. I due libri degli Analitici Secondi sono un'opera di metodologia. I Topici sono dedicati al ragionamento dialettico, con l'analisi dei luoghi comuni ricorrenti nella discussione dialettica. Nelle Confutazioni sofistiche si discute delle fallacie e delle loro soluzioni.

Cenni storici: i successori di Aristotele e gli storici

Il successore di Aristotele alla guida del Liceum fu Teofrasto di Ereso (ca. 370-285 a. C.) che continuò l'opera del maestro contribuendo alla teoria del sillogismo assertorio e sviluppando, con Eudemo, quella del sillogismo totalmente ipotetico. Importante fu anche la scuola megarica fondata da Euclide di Megara (ca. 450-380 a. C.) e illustrata da Eubolide di Mileto, Stilpone (sec. IV), Diodoro Crono (m. 307) e Filone di Megara (ca. 300). Assorbì influssi eleatici e contribuì allo sviluppo approfondendo concetti relativi alla teoria della modalità e lo studio dell'implicazione. Tutta questa problematica venne ripresa dalla scuola stoica, fondata da Zenone di Cizio (300 a. C.) e sviluppata da Crisippo (ca. 281-208 a. C.), figura di primo piano dello stoicismo. La scuola fu attiva sino al tempo di Marco Aurelio (121-180): per gli stoici la logica era una parte della filosofia e precisamente la “dialettica”, suddivisa in due parti: studio delle cose significate; studio delle cose significanti. A questa essi dedicarono profonde indagini sviluppando per la prima volta uno studio sistematico della grammatica, ma la loro ricerca più originale fu sulle cose significate, per le quali elaborarono la dottrina del lectón (ciò che è detto), che è un qualcosa di distinto sia dalla cosa, sia dal simbolo che la rappresenta. I lecta possono essere incompleti (per esempio un nome, un verbo ecc.) e completi. Questi ultimi si suddividono in proposizioni, domande, quesiti, comandi, giuramenti, preghiere, supposizioni, allocuzioni e cose simili agli axiomata. Solo per le proposizioni ha senso, secondo gli stoici, chiedersi se sono veri o falsi e a essi applicano rigidamente il principio di bivalenza. Le proposizioni si suddividono poi in semplici e composte, le prime formate da una sola proposizione, le seconde da più proposizioni. La verità o falsità della proposizione composta dipende strettamente dalla verità o falsità delle semplici che la compongono. Esse danno origine a schemi sempre veri di inferenza (per esempio “Se il primo allora il secondo, ma il primo, dunque il secondo”). Tra questi, Crisippo individuò cinque schemi, detti indimostrabili, da cui era possibile derivare un gran numero di altri schemi secondo determinate regole oggi in parte perdute. Questi schemi furono a due premesse, di cui una composta, sino ad Antipatro (sec. II a.C.) che introdusse l'uso di schemi con una sola premessa. La logica stoica è quindi una logica delle proposizioni, mentre quella aristotelica è soprattutto una logica dei termini generali o meglio delle relazioni tra loro intercorrenti. La logica stoica presuppone quella aristotelica nel senso che questa assume senza esplicita formulazione quei teoremi che sono oggetto d'indagine da parte degli stoici. Crisippo fu l'ultimo grande logico dell'antichità e l'età che segue è caratterizzata da semplici commentatori e autori di manuali. Dopo un lungo quanto sterile contrasto tra le due scuole, in concomitanza con il fiorire delle filosofie eclettiche, si verificò fra esse una progressiva fusione, spesso apportatrice di confusione: Cicerone (106-43 a. C.), Quintiliano (ca. 40-ca. 100 d. C.), Prisciano (sec. VI) interessano la logica soprattutto per le loro traduzioni in latino della terminologia greca; Apuleio (n. nel 125 d. C.) in una sua breve opera trattò sia della logica stoica sia di quella aristotelica; Galeno (129-199) portò la contaminazione anche nella terminologia; Sesto Empirico (sec. II) diede preziose informazioni sulla stoá; Alessandro di Afrodisia (sec. II) fu il principe dei commentatori aristotelici e gli fanno corona Simplicio (sec. VI), Filopono (sec. VI) e Porfirio (ca. 233-305), la cui opera Isagoge ebbe gran diffusione nel Medioevo. S. Boezio (480-524) fu autore di alcune opere logiche che, sintetizzando, spesso in modo originale, la logica antica, rappresentarono sino al sec. XII la fonte più rilevante delle ricerche logiche del primo Medioevo. Gli Arabi vennero in contatto con la logica greca con la conquista della Siria, dove le scuole cristiane univano lo studio della logica a quello della medicina, e studiarono la logica su di un corpus di traduzioni siriane comprendente: le Isagoge di Porfirio, le Categorie, Sull'interpretazione, Analitici Primi e Secondi, Topici, Confutazioni sofistiche, Retorica e Poetica di Aristotele. Il primo traduttore in arabo di alcune di esse o di loro sommari fu al-Kindī (ca. 800-873). Alla fine del sec. IX si sviluppò la scuola logica di Baghdad, nella quale emersero Matta ibn Yunus (870-940), al-Fārābī (870-950) e Yaḥya ibn ʽAdī (893-974). Benché collegato a questa scuola, Avicenna (980-1037), il maggior logico arabo, si distanzia da essa non fermandosi alla traduzione e al commento, ma facendone oggetto di ricerca e sviluppando la teoria delle proposizioni condizionali e modali e recuperando elementi non aristotelici risalenti a Galeno e agli stoici. Ibn Abdun (930-955) fondò la scuola di Spagna, dalla quale uscirono Abu 'l-Sālt (1068-1134), Avempace (m. 1139) e Averroè (1126-1198), che scrisse il più analitico e approfondito commento arabo dell'Organon. Dopo di lui l'ostilità del popolo e dei teologi che investì la filosofia fece sì che gli studi di logica decadessero.

Cenni storici: logica araba e medievale

Aspetto peculiare della logica araba è innanzitutto il recupero, la traduzione e il commento delle opere dell'antichità classica; secondario il contributo al suo sviluppo. Altra peculiarità, ereditata dalle scuole cristiano-siriane e che accompagna tutto il suo sviluppo storico, è lo stretto legame esistente tra logica e medicina e tra queste e la filosofia. Dal sec. VI al IX lo studio della logica in Europa, ormai isolata dal mondo greco e travagliata dalle invasioni barbariche, fu confinato nei monasteri e avvenne sulle sole opere di Boezio e un commento di Cicerone ai Topici, oltre che su opere di valore trascurabile come quelle di M. Capella (sec. V) o di Prisciano (sec. VI). Tale eredità ha fatto della logica un'arte del linguaggio in stretta connessione con la retorica e la grammatica. Il primo trattato di logica medievale è la Dialettica di Alcuino (735-804). Altri logici furono E. di Auxerre (841-876), Abbone di Fleury (m. 1004), Gerberto di Aurillac (m. 1003), Garlando il Computista (ca. 1040). È del sec. IX il movimento dei dialettici, che tentarono di applicare la logica all'esegesi biblica e alla teologia; da esso si sviluppò la polemica sugli universali. I contrasti fra dialettici e antidialettici riguardavano però le posizioni assunte, non gli strumenti logici usati: antidialettici furono P. Damiani (1007-1072) e A. d'Aosta (1033-1109); dialettici B. di Tours (m. 1088) e Roscellino (1050-1120), nonché il primo grande logico del Medioevo, P. Abelardo (1079-1142), la cui logica si differenzia da quelle precedenti in quanto scienza autonoma, libera da interpretazioni metafisiche. Da qui la sua posizione concettualistica sul problema degli universali. Nella sua celebre Dialettica (1121), Abelardo affrontò in modo originale leanalisi sulla copula, sui prefissi di quantificazione, sul segno di negazione, sui connettivi condizionali e disgiuntivi, sulla modalità; distinse la validità di un'inferenza dipendente dalla sua forma logica da quella dipendente dal contesto fattuale o dal significato. Dal suo scritto presero avvio alcune tematiche fondamentali della logica medievale quali lo studio delle proprietates terminorum e delle consequentiae. Con il sorgere e lo sviluppo delle università, la logica entrò a far parte dei loro piani di studio e accanto ai testi antichi si diffusero, grazie alle traduzioni dall'arabo e dal greco, altre opere di Aristotele e gli scritti di Avicenna e Averroè, non senza però forti resistenze quando venivano applicate alla teologia. Con Alberto Magno e San Tommaso si studiarono e commentarono i nuovi testi aristotelici, furono estratti trattati su questioni particolari e si purgò il testo originale dalle interpretazioni successive. Dei “nuovi” testi di logica dello Stagirita ebbero grande successo le Confutazioni sofistiche, perché assecondavano il gusto di argomentare per dispute e riempivano finalmente il vuoto di testi antichi sui sofismi. Tra i numerosissimi manuali quelli più noti e che ben testimoniano quale fosse l'insegnamento logico nella Scolastica sono le Introductiones in logicam o Summulae di Guglielmo di Sherwood (1200/1210- 1206/1271) e le Summulae logicales di P. Ispano (m. 1277). Il primo tratta delle proposizioni, dei predicabili, del sillogismo, dei topici dialettici, delle fallacie e delle proprietà dei termini. In esso noi veniamo a conoscere per la prima volta la dottrina della cosiddetta suppositio terminorum, l'albero di Porfirio e i versi mnemonici sui sillogismi che ebbero in seguito tanto successo. Benché meno originale, l'opera di Pietro Ispano ebbe un successo enorme (anche per i numerosi metodi mnemonici per ricordare le regole logiche). Dei dodici trattati che la compongono 6 sono dedicati ai temi aristotelici ( antiqua) e 6 ai temi più propriamente medievali concernenti le proprietates terminorum ( moderna). Una posizione a parte ebbe R. Lullo (ca. 1235-1315), famoso per un sistema combinatorio dei concetti elementari che venne chiamato Ars Magna. G. di Occam (ca. 1295-1350), noto come il maggior esponente del nominalismo, diede la prima esposizione sistematica di tutta la logica, compresi gli apporti medievali, e distinse la metafisica dalla logica, dando a quest'ultima una spiccata caratterizzazione formale. Altri logici di valore furono W. Burleigh (1275-1343), G. Buridano (m. 1358), A. di Sassonia (ca. 1316-ca. 1390) e gli esponenti della scuola del Merton College di Oxford (Richard Swineshead o Suisseth, William Heytesbury o Hentisberus, Ralph Strode e Richard Ferabrich). Grazie soprattutto a questi ultimi si approfondirono i legami tra matematica e logica: per esempio i problemi connessi alla nozione di “continuo”, trattati come tipi particolari di sofismi, prepararono alcune fondamentali nozioni della moderna cinematica e del calcolo differenziale e integrale. Sul finire del sec. XIII Parigi e Oxford divennero i centri maggiori per lo studio della logica. La loro influenza si esercitò sino al sec. XVI su tutta l'Europa, come attestano le opere di Vincenzo Ferraro (1350-1419), I. Zabarella (1533-1589) e Paolo Veneto (m. 1429), la cui monumentale Magna sintetizza l'espressione più matura della logica medievale. Concomitante alla decadenza della filosofia e delle istituzioni cui si era così strettamente legata è l'isterilimento della logica in elaborati quanto vuoti schematismi e formalismi. La fine della logica medievale non portò con sé quella della Scolastica, che ebbe cultori anche nei secoli seguenti fino ai giorni nostri, senza tuttavia esprimere grande originalità, né spiccata personalità.

Cenni storici: dal Rinascimento al Settecento

Con il Rinascimento la logica, anche come studio del linguaggio, cedette il passo alla retorica e ai problemi psicologici e gnoseologici del linguaggio, suscitando l'indifferenza se non l'ostilità degli umanisti, anche nella scia del diffuso movimento antiaristotelico: non a caso il più famoso logico tra gli umanisti, P. Ramo (1515-1572), sviluppò una serrata polemica contro Aristotele che lo portò da una parte a considerare la logica come ars bene disserendi (arte del ben dire) e dall'altra a riformare l'esposizione della sillogistica anche nella terminologia. Nello stesso periodo sorsero l'interesse per il metodo induttivo, la rinascita della matematica non in senso meramente geometrico, una diversa considerazione della natura e lo svilupparsi dell'indagine su di essa, la nascita insomma della scienza nuova. La logica divenne in questo nuovo contesto ricerca sul metodo, problema centrale del sec. XVII. E anche quando si insisteva sulla validità del metodo deduttivo, come in Cartesio (1596-1650), questo era affrancato dalla sillogistica; il punto di riferimento non era più la logica ma la matematica. Pur avendo sempre della logica una buona conoscenza, si era tuttavia in presenza di un diffuso giudizio negativo, come in Locke (1632- 1704) o in Hobbes (1588-1679), cui si deve per altro della logica una concezione concettualistica e calcolistica. Nella di Port-Royal di A. Arnauld (1612- 1694) e P. Nicole (1625-1695) la logica non ha più per oggetto il linguaggio, ma il pensiero e l'interazione tra questo e il linguaggio. Essa è “l'arte di ben condurre la propria ragione nella conoscenza”. L'organizzazione dell'opera, che tratta delle idee o concetti, del giudizio, del ragionamento e del metodo, rivela tutto il distacco tra la logica tradizionale e quella del Seicento. Una posizione peculiare fu quella di G.W. Leibniz (1646-1716), che da un lato operò un recupero della logica tradizionale e dall'altro l'arricchì di questioni nuove, che ne fanno un precursore della logica moderna. Per Leibniz la sillogistica come l'ars combinatoria hanno una funzione fondamentale nella realizzazione di una scienza generale del metodo che, nell'ambito della realizzazione di un'enciclopedia, sia costituita da una mathesis universalis, formata da una lingua ideale o characteristica universalis e da un calcolo logico o calculus ratiocinator. Progetti che rimasero allo stato di abbozzo, per cui la loro influenza fu recepita più per particolari aspetti o problemi che non per la concezione della logica come sistema di principi relativi all'inferenza valida. Lo sviluppo della logica del sec. XVIII tenne però presenti alcuni temi leibniziani: C. Wolff (1679-1754) si ricollegò strettamente alla filosofia leibniziana, mostrando l'interesse maggiore per le categorie e dando una visione riduttiva della logica sillogistica. Tale atteggiamento si ritrova nei suoi discepoli, nell'illuminismo tedesco, in I. Kant e nell'idealismo tedesco, dove lo stadio della logica si caricò di connotazioni metafisiche ed epistemologiche. Un secondo indirizzo fu più attento alla logica formale, all'ars combinatoria e al progetto di calcolo logico di Leibniz: J.H. Lambert (1728-1777) fece il più convincente tentativo di realizzare una mathesis universalis attraverso un calcolo logico che anticipa molti temi della logica matematica; G. Ploucquet (1716-1790), S. Maimon (1754-1800) e G. F. Castillon (1747-1814) operarono nuovi tentativi di calcoli logici. Come in Leibniz anche nei logici del sec. XVIII coesistettero interessi matematici e logici. È il caso di G. Saccheri (1667-1733), noto soprattutto per le sue indagini sui fondamenti della geometria; L. Eulero (1707-1783), cui si deve la rappresentazione con diagrammi dei sillogismi. L'Ottocento vide uno sviluppo della matematica caratterizzato dalla riorganizzazione di ogni suo campo, dall'indagine sui fondamenti della geometria e dalla nascita delle geometrie non euclidee. I rapporti tra questa scienza e la logica si fecero sempre più stretti mentre si assisteva a un progressivo distacco della logica dalla filosofia. Connesse alle problematiche matematiche di quegli anni sono le ricerche logiche di B. Bolzano (1781-1848), G. Peacock (1791-1858), J.D. Gergonne (1771-1859). Legate invece all'empirismo, filosofia dominante in Inghilterra, sono le indagini logiche di W. Hamilton (1788-1856), cui si deve la quantificazione dei predicati nella logica aristotelica, di J. Bentham (1748-1832) e di J. Stuart Mill (1806-1873), il cui Sistema di (1843) se è dedicato in gran parte alla logica induttiva non trascura la logica formale.

Algebra: la logica matematica

In connessione con gli sviluppi della matematica, e in particolare dell'algebra, si ebbe la svolta fondamentale della logica che mutò profondamente le connotazioni di questa scienza verso la metà del sec. XIX. Essa è dovuta all'opera di A. de Morgan (1806-1871), cui si deve il primo esauriente sviluppo della logica delle relazioni, ma soprattutto a G. Boole (1815-1864), la cui opera Analisi matematica della (1847) segnò l'inizio di quel processo di ricerca sull'algebra della logica che attraverso le opere di W.S. Jevons (1835-1882), J. Venn (1834-1923), E. Schröder (1841-1902), S. Peirce (1839-1914) culminò nell'esposizione assiomatica di E. V. Huntington. Il principale risultato di questo processo è stato quello di presentare la logica come una teoria matematica organizzata deduttivamente, in cui non solo si privilegiava l'aspetto formale, ma si prescindeva da interpretazioni di ordine intuitivo o realistico. Si individuò una profonda analogia tra i processi logici e quelli matematici, si affermò la natura matematica della logica, per cui il calcolo logico veniva a essere parte della matematica. Inoltre si faceva strada la convinzione che il linguaggio naturale fosse inadeguato a esprimere con rigore e chiarezza i processi logici. Tutto ciò provocò un ulteriore distacco della logica dalla filosofia, in quanto si liberò la prima dalle ingerenze dirette delle varie tematiche e concezioni della seconda, differenziando persino lo strumento stesso di enunciazione: il linguaggio formale per la prima da quello comune per la seconda. Si generò inoltre una problematica filosofica più prettamente logica che coinvolse la natura della logica e della matematica. Questa evoluzione non solo metteva a disposizione dei logici strumenti nuovi, la cui potenza andava ben oltre quella degli strumenti tradizionali, ma determinò un'approfondita discussione su cosa fosse la logica ed evidenziò la necessità di una sua fondazione assiomatica. Allo sviluppo di questa nuova logica concorsero il processo di aritmetizzazione dell'analisi (K. Weierstrass, R. Dedekind) e della geometria (B. Riemann, H. Helmholtz), il processo di assiomatizzazione dell'aritmetica (G. Peano) e della geometria (D. Hilbert) e la nascita della teoria degli insiemi (G. Cantor). Queste indagini ponevano come centrale per la fondazione di tutta la matematica una rigorosa definizione dei concetti fondamentali dell'aritmetica, in particolare dei concetti di numero e di induzione. Le spiegazioni empiriste o psicologiche di questi concetti risultavano inadeguate, per cui si cercava di darne una spiegazione puramente logica. In questo contesto si situa l'opera di G. Frege (1848-1925) che operava una profonda riorganizzazione della logica, da lui posta a fondamento dell'aritmetica e quindi di tutta la matematica. Ma la scoperta delle antinomie pose in crisi non solo il tentativo di Frege, ma anche quelli per molti versi analoghi di Dedekind e di Cantor. Nel tentativo di uscire dalla situazione di stallo in cui le antinomie avevano gettato la logica e il problema dei fondamenti della matematica, sorgevano correnti di pensiero contrapposte sulla natura della logica e della matematica, sui reciproci rapporti, sui metodi utilizzabili nella questione dei fondamenti e nella logica stessa. Le più rilevanti furono: il logicismo, che riprendeva, modificato, il programma di Frege e che ebbe nei Principia Mathematica di B. Russell e A. N. Whitehead il momento più rilevante; il formalismo, che cercò di fondare la matematica sulla base di una completa formalizzazione e, in termini finitisti, attraverso lo sviluppo della teoria della dimostrazione (Hilbert, Ackermann, Bernays, Herbrand, von Neumann, Gödel); l'intuizionismo, che fondava la matematica sulla nozione di costruzione mentale (Brouwer, Heyting). Le indagini sui fondamenti dominarono il panorama logico sino agli anni Trenta. Legate a queste si svilupparono ricerche rilevanti come, per esempio, l'assiomatizzazione della teoria degli insiemi (E. Zermelo, A. A. Fraenkel). Si fecero importanti scoperte, anche se parziali, come quelle di L. Lowenheim, T. Skolem, K. Gödel. Questo filone di ricerca non esaurì però l'indagine logica di quegli anni, come hanno testimoniato le ricerche della scuola logica polacca, quelle sulla logica modale di C. L. Lewis e gli studi di E. Post sulla logica degli enunciati. Ma spettò al teorema di Gödel (1931) il compito di mostrare l'irrealizzabilità di una fondazione generale della matematica e di modificare le tematiche dominanti nell'indagine logica. A ciò si aggiunga che lo sviluppo del metodo semantico, a opera soprattutto di A. Tarski, e lo studio della ricorsività (J. Herbrand, K. Gödel, A. Church, E. Post, S. C. Kleene) contribuirono a loro volta a consolidare l'indagine logica in quei vari filoni di ricerca che la caratterizzano ancora ai nostri giorni. Essi sono: l'analisi delle teorie, che si articola in analisi sintattica (sui procedimenti di generazione dei teoremi), che coinvolge problemi relativi alla decisione, alla teoria della dimostrazione, alla coerenza, e in analisi semantica (sul significato degli enunciati, sulle descrizioni di realtà e su domini di esperienza), che coinvolge problemi relativi alla nozione di verità, ai modelli, alla completezza, alla categoricità; analisi di teorie particolarmente importanti, come la teoria degli insiemi, perché fondamentali in tutto il discorso matematico e logico; studio delle estensioni della logica classica (intuitiva, polivalente, intensionale e modale). Alla base dell'analisi logica sta l'elaborazione di linguaggi e calcoli formali che si possono distinguere in linguaggi e calcoli enunciativi, dei predicati del primo, del secondo ordine ecc., linguaggi infinitari. Essa viene condotta dal duplice punto di vista sintattico e semantico. Accanto a questi temi che articolano in diversa maniera il problema delle teorie e della deduzione, in tempi recenti si è sviluppata anche una logica induttiva. Tradizionalmente un'inferenza induttiva è il passaggio da enunciati particolari a enunciati universali; per esempio, dagli enunciati “Giovanni, Remo, Andrea sono mortali”, all'enunciato “tutti gli uomini sono mortali”. Inferenze di questo tipo non si possono giustificare sul piano deduttivo in quanto la conclusione non è conseguenza logica delle premesse. Il problema della logica induttiva è quello di indagare che senso abbia questo tipo di inferenze che vengono costantemente fatte sia nella vita pratica, sia nella stessa teorizzazione delle scienze empiriche. Già in J. S. Mill la logica veniva divisa in deduttiva e induttiva e si tentava di dimostrare come la stessa inferenza deduttiva non fosse che un caso particolare di quella induttiva. Oggi questa posizione non viene più accolta in quanto si riconosce che la liceità di un'inferenza deduttiva si basa sul solo significato di connettivi e quantificatori. Non così per le inferenze induttive che presuppongono assunzioni sulla regolarità dell'universo di cui si parla. L'idea alla base della logica induttiva moderna è che le inferenze induttive non riguardano la verità degli enunciati, ma la loro probabilità: se le premesse hanno un certo grado di probabilità, le conclusioni ne devono avere un altro. Si pone il problema di quale rapporto debba esistere tra la probabilità della conclusione e quella delle premesse. Questo rimanda a una precisa definizione del concetto di probabilità. È soprattutto a R. Carnap, a partire dal 1950, che si deve questo modo di affrontare la logica induttiva. La probabilità di enunciati dipende in parte dalla loro forma: la probabilità di A o B, per esempio, è la somma delle probabilità di A e di quelle di B, se gli enunciati sono indipendenti. È quindi possibile stabilire dei principi che determinino come la probabilità di un enunciato dipenda da quella degli enunciati che lo compongono. Servendosi di una precisa definizione di probabilità, Carnap fu quindi in grado di stabilire dei veri e propri principi per l'inferenza induttiva. Negli anni Cinquanta le proposte di sistemi di logica induttiva si sono moltiplicate in quanto è molto difficile stabilire principi che non diano origine a conclusioni controintuitive (per esempio, nel primo sistema di Carnap risultava che ogni enunciato universale aveva probabilità zero). Si impone quindi una compenetrazione tra valutazione a priori della probabilità e assunzioni sulla possibilità di apprendere dall'esperienza e quindi, in un certo senso, sulla regolarità dell'universo. Il problema è di trovare un equilibrio tra questi due ordini di considerazioni: la possibilità della logica induttiva poggia sull'accettazione o meno di un simile punto di equilibrio. Lavori interessanti in questa direzione sono stati compiuti da J. Hintikka, R. Jeffreys. Va notato che oggi il rapporto tra logica deduttiva e induttiva è molto diverso da quello tradizionalmente istituito. Non si tratta di due diversi modi di ragionare, ma dell'analisi e dell'articolazione di due problemi distinti, tanto è vero che la logica induttiva si serve dei metodi della logica deduttiva e che quest'ultima ha fondamenti del tutto autonomi. È lecito quindi vedere la logica induttiva come un ennesimo esempio dell'applicazione della logica matematica a un tipo di problemi riguardanti le teorie empiriche.

Fisica: la logica quantistica

La logica ordinaria è una logica a due valori. Essa è costruita in termini di valori di vero o falso (o piove o non piove, la corrente passa o non passa). Nella teoria quantistica quei gruppi di affermazioni che Bohr-Heisenberg definiscono prive di significato e che derivano dagli stati di sovrapposizione (dagli stati indeterminati), si collocano a metà strada tra i valori di verità e falsità. Nel linguaggio speculativo comune non è necessario eliminare dal campo delle affermazioni "significative" le asserzioni relative all'indeterminatezza. Per poter analizzare le affermazioni indeterminate basta applicare una regola che non permetta di considerarle vere o false. Ciò si ottiene introducendo un terzo valore di verità. Il significato di "indeterminato" deve essere distinto dal significato di "sconosciuto". Il termine "sconosciuto" si applica normalmente anche ad affermazioni a due valori ; il valore di verità di un'affermazione della logica comune può essere sconosciuto, ma far parte del gruppo di affermazioni vere o false. Per rappresentare fedelmente gli stati intermedi, gli stati indeterminati, occorre abbandonare il principio del tertium non datur (del terzo escluso) e considerare una a tre valori. La significatività per la teoria quantistica del valore di verità indeterminato è reso particolarmente evidente nelle seguenti considerazioni. Si immagini uno stato fisico generico S sul quale si compia una misurazione della grandezza X, nel fare ciò, però, si è costretti a rinunciare alla conoscenza di quale sarebbe stato il risultato se si fosse fatta una misurazione della "grandezza coniugata" V. È inutile fare una misurazione di V nel nuovo stato fisico, poiché la misurazione di X ha cambiato la situazione. È altrettanto inutile costruire un altro sistema con lo stesso stato iniziale S, e fare una misurazione di V, dato che il risultato di quella misura è determinato soltanto con una certa probabilità. Questa ripetizione della misurazione può dare un valore differente da quello che avremmo ottenuto nel primo caso. Il carattere probabilistico delle previsioni della meccanica quantistica comporta un assolutismo per il caso singolo; esso rende il singolo evento non ripetibile, irrecuperabile. Una situazione simile a quella appena illustrata, si ha nel caso di una persona, la chiameremo Anna, che affermi : "Se getto il dado al prossimo tiro, farò tre" e un'altra persona, la chiameremo Bruno, che affermi : "Se lo lancio io, invece, farò quattro". Anna getta il dado, e fa due. Sappiamo allora che l'affermazione di Anna era falsa. Quanto all'affermazione di Bruno, però, non abbiamo possibilità di giudizio, in quanto Bruno non ha potuto materialmente lanciare il dado. Un modo per verificare le affermazioni di Bruno potrebbe essere quello di misurare la posizione iniziale del dado, lo stato dei suoi muscoli, la densità dell'aria ecc. Potremmo allora predire con una precisione grande a piacere il risultato del lancio di Bruno; o, per meglio dire, dato che noi non potremmo mai farlo, lo potrebbe fare per noi il superuomo di Laplace, il quale in linea di principio può riprodurre qualsiasi situazione. Per la meccanica quantistica comunque, neanche il superuomo di Laplace può riprodurre in tutto e per tutto l'esito del lancio di Bruno, in quanto, come sottolineato in precedenza, gli esperimenti di fisica quantistica sono governati dalla legge della probabilità.

Logica e informatica

Alla fine del secolo XX, il progresso delle ricerche logiche ha aperto interessanti prospettive di applicazione in vari campi. Lo sviluppo dell'informatica e gli studi sull'intelligenza artificiale hanno stimolato il rinnovamento di branche della logica. Le logiche temporali e le logiche modali sono state utilizzate negli studi astratti sul concetto di “programma” per computer.

Bibliografia

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