predicato

Lessico

sm. [sec. XIV; dal latino tardo praedicātum (propr., pp. neutro di praedicāre, dichiarare, affermare), calco del greco katēgorúmenon, ciò che viene affermato].

1) Ciò che si dice, si afferma, si enuncia di un soggetto, per lo più nelle specifiche accezioni di logica matematica e grammatica. Fig.: essere in predicato, essere tra i più probabili candidati a un ufficio, una carica e simili: è in predicato per la promozione alla presidenza.

2) Qualificazione onorifica (propr., predicato d'onore) attribuita a chi detiene particolari posizioni di prestigio, per esempio altezza, eccellenza, eminenza e simili; predicato nobiliare, nome, generalmente di luogo, che si aggiunge a un titolo nobiliare e che indica solitamente la giurisdizione feudale relativa a tale titolo (per lo più preceduto dalla prep. di): Camillo Benso, conte di Cavour.

Grammatica

Elemento della proposizione che indica ciò che si predica, cioè si dice, del soggetto, ossia l'azione da esso compiuta o subita, o lo stato in cui esso si trova. Si distingue un predicato verbale formato da un verbo di senso compiuto (il giovane lavora) e un predicato nominale formato da un nome, aggettivo o sostantivo, unito al soggetto dal verbo “essere” o da verbi di senso generico e solitamente incompiuto come gli intransitivi “diventare, restare, riuscire, sembrare” detti copulativi (il giovane è lavoratore).

Logica matematica

Parte di una proposizione che indica le proprietà o le relazioni di cui godono i soggetti o termini della proposizione. per esempio, nelle proposizioni “Mario è romano”, “7 è maggiore di 3”, “Firenze si trova tra Roma e Milano”, le espressioni “è romano”, “è maggiore di”, “si trova tra... e...” sono dei predicati. La prima indica una proprietà, mentre le altre due indicano delle relazioni rispettivamente a due e a tre posti. Abbiamo cioè dei predicati che possono essere a uno, due, tre, ... n posti secondo il numero di termini necessari a completare la proposizione. Buona parte degli enunciati delle teorie scientifiche riguardano relazioni tra individui e quindi sono espressioni che contengono predicati. Dato il ruolo centrale che i predicati hanno nella costruzione di teorie, il problema che si pone dal punto di vista logico è quello di analizzare sistematicamente i rapporti logici che esistono tra enunciati, tenendo conto della presenza in essi di predicati. Per questo la logica degli enunciati non è sufficiente. Consideriamo, per esempio, la proposizione “Se esiste un numero che è minore o uguale di tutti i numeri naturali, allora per ogni numero naturale ne esiste uno minore o uguale”. È chiaro che questo enunciato è valido, ma non è possibile dar ragione della sua validità all'interno della logica degli enunciati. Dal punto di vista di quest'ultima infatti l'enunciato di sopra ha semplicemente la forma “Se A, allora B”, dove A sta per “esiste un numero che è minore o uguale di tutti i numeri naturali” e B sta per “ogni numero naturale ne ha uno minore o uguale”. Questo in quanto, quando si traduce un enunciato in una formula del linguaggio enunciativo, ogni sottoenunciato viene preso non analizzato e nella formula vengono riprodotti solo i legami tra enunciati e non quelli tra termini e predicati presenti negli enunciati. Tradizionalmente si riteneva che rapporti di questo tipo fossero analizzabili sulla base della sillogistica, ma l'esempio precedente mostra che ciò non è possibile. I termini generali che compaiono nell'espressione sillogistica possono essere solo predicati monadici o unari, mentre la relazione di minore o uguale è una relazione diadica. In alcuni casi è possibile superare questo inconveniente con opportune ritraduzioni, ma non in generale. Questo fatto emerse chiaramente nella seconda metà del sec. XIX soprattutto per opera di A. De Morgan e di C. S. Peirce che tentarono la costruzione di una logica delle relazioni, cioè dei predicati con numero di posti qualunque. Emerse ben presto, e fu Peirce che pose in luce la cosa, che un ruolo essenziale nell'analisi dei predicati spettava a espressioni del tipo: “esiste almeno un, per tutti, ecc.”, nel senso che la validità logica di molti enunciati dipende essenzialmente dal significato di queste espressioni. Nell'esempio di sopra la cosa risulta chiara. Peirce ne trasse la conclusione che, nell'analisi dei rapporti logici tra enunciati, oltre ai connettivi fosse indispensabile tener conto di simili espressioni che per la loro interpretazione è legittimo chiamare quantificatori. Peirce sviluppò la sua analisi all'interno dell'algebra della logica, ma fu G. Frege che nel 1879 elaborò il primo calcolo logico dei predicati che sostanzialmente è alla base delle rielaborazioni moderne. Il linguaggio del calcolo dei predicati, costruito in analogia con quello della logica degli enunciati, ha un alfabeto ripartito in due classi di simboli, oltre a quelli ausiliari: da una parte le variabili individuali e predicative, dall'altra i simboli logici, cioè i connettivi del calcolo enunciativo più i quantificatori (∀, ∃) che si leggono rispettivamente “per tutti gli...” ed “esiste un...”. Le variabili predicative sono suddivise in variabili unarie, binarie,..., n-arie e si intendono scorrere su relazioni unarie, binarie,..., n-arie. Le variabili individuali scorrono sull'universo del discorso. Come regole di formazione abbiamo le seguenti: se y₁,..., y_n sono variabili individuali e P è una variabile predicativa n-aria, allora Py₁,..., Py è una formula atomica. Dalle atomiche otteniamo le formule molecolari ponendo che: se A e B sono formule, allora (A∧B), (A∨B), (A→B) e (A↔B) sono anch'esse formule. Se A è una formula, allora anche ¬A lo è. Se A è una formula e x una variabile individuale, allora ∀xA e ∃xA sono formule. La lettura delle formule è immediata: Py₁,..., Py significherà che gli individui denotati con y₁,..., y stanno nella relazione denotata da P. Quanto ai connettivi la lettura è quella data parlando del calcolo degli enunciati. Formule del tipo ∃xA, ∀xA verranno lette come “esiste almeno una x tale che A” e “per tutti gli xA”. Per dare un esempio la traduzione formale dell'esempio da cui siamo partiti sarà ∃x∀yP(x, y) —→ ∀x∃yP(y, x), dove P sta per “minore o uguale”. Questa interpretazione pone in luce una distinzione di fondo tra le formule. Propriamente una formula del tipo Py₁,..., Py non ha un valore di verità preciso in una data interpretazione se non si fissa il significato che intendiamo dare alle variabili. Per esempio, Pxy, dove P indica ancora la relazione di minore o uguale, una volta che si facciano scorrere le variabili sull'insieme dei numeri naturali, non ha un valore di verità determinato in quanto avremo un enunciato vero se a x assegnamo un valore minore di quello assegnato a y, falso altrimenti. Esistono però formule che pur contenendo variabili individuali hanno un valore di verità determinato: sono quelle in cui tutte le variabili individuali sono vincolate da un quantificatore. Per esempio, ∀x∃yP(x, y) è vera nell'interpretazione di sopra, mentre è falsa ∃y∀xP(x,y). La lettura delle formule infatti ci dà un enunciato di valore determinato in quanto, per così dire, qui non parliamo dei valori che le variabili possono assumere singolarmente, ma della totalità dei valori che esse assumono. Visto il significato che la distinzione tra variabili libere e variabili vincolate ha dal punto di vista interpretativo, è opportuno precisarla formalmente. Diremo così che la variabile y occorre vincolata nella formula A se esiste una sottoformula di A del tipo ∃yB o ∀yB ed è libera altrimenti. Si noti che una stessa variabile può occorrere nella stessa formula sia libera, sia vincolata. Una formula in cui non occorrono variabili libere si chiama formula chiusa. Come detto sopra, sono propriamente le formule chiuse che hanno un preciso valore di verità in ogni interpretazione. Quelle non chiuse lo hanno solo rispetto a una data assegnazione di valori di verità alle variabili individuali. È però possibile associare a ogni formula una formula chiusa, la sua chiusura universale, che si ottiene quantificando con il quantificatore universale tutte le variabili libere. Possiamo così, per abuso di linguaggio, dire che una qualsiasi formula è vera se lo è la sua chiusura universale; questo vuol dire che leggiamo le variabili individuali come se fossero quantificate. Sinora si è parlato di interpretazione e di verità in modo intuitivo, è però possibile precisare il discorso e dare una base rigorosa alla semantica dei linguaggi della logica dei predicati. Da quanto detto sopra risulta che, per dare un'interpretazione a una formula, è necessario fare due cose: fissare un dominio su cui scorrono le variabili individuali e che sarà la totalità degli individui dell'interpretazione e fissare un significato per ogni variabile predicativa, cioè un'assegnazione per ogni P n-ario di una relazione n-aria sul dominio. A questo punto è possibile definire che cosa si intenda per una formula vera per una data interpretazione. Una definizione fu data da A. Tarski nel 1936 e sostanzialmente non fa che dar veste matematica alla nostra lettura intuitiva delle formule. In tutta analogia con questo fatto, nel caso enunciativo possiamo definire i concetti di validità logica e di conseguenza: una formula sarà valida se è vera per ogni interpretazione e A sarà conseguenza dell'insieme di formule ⌈ se è vera in ogni interpretazione in cui sono vere tutte le formule di ⌈. Come per gli enunciati, è possibile fornire un'analisi in termini di regole sintattiche del concetto semantico di conseguenza logica tra formule predicative. In altre parole è possibile costruire un calcolo logico dei predicati per cui vale che A è conseguenza di ⌈ se e solo se A è derivabile da ⌈ sulla base del calcolo. La prima dimostrazione di ciò, per un calcolo sostanzialmente equivalente a quello di Frege, fu data da K. Gödel nel 1930: il risultato è noto come teorema di completezza della logica dei predicati. Una formulazione del calcolo dei predicati può essere la seguente: il linguaggio LP del calcolo dei predicati CP è il linguaggio che risulta dalle condizioni esposte più sopra. Assiomi di CP sono tutte quelle espressioni aventi la forma che corrisponde o a una delle forme degli assiomi del calcolo degli enunciati, che qui non riproduciamo per brevità, o a una delle due forme seguenti:

In P1 e P2 la variabile x compare libera in A(x) e A(x/y) si ottiene con la sostituzione in A(x) della variabile x con la variabile y ovunque x occorra libera in A(x). Regole di CP, oltre a quella di separazione, o modus ponens, sono quella di generalizzazione e quella di particolarizzazione. La regola di generalizzazione è quella che ci consente di passare in una successione che contiene l'espressione B —→ A(x) all'espressione B —→ ∀xA(x), a condizione che x non compaia libera in B. La regola di particolarizzazione è quella che ci consente di passare in una successione in cui compaia l'espressione A(x) —→ B all'espressione ∃xA(x) —→ B, a condizione che x non occorra libera in B. Diciamo che una successione finita di espressioni è una derivazione di A da ⌈ se e solo se ogni elemento della successione o è un assioma o una sua variante, o è un elemento di ⌈, o è il risultato dell'applicazione di una delle regole a espressioni precedenti; l'ultima espressione della successione è A; nessuna variabile libera negli elementi della successione appartenenti a ⌈ è stata sostituita o quantificata. A è derivabile da ⌈ ( ⌈⊢ A) se e solo se esiste una sua derivazione da ⌈. Per CP vale il teorema di completezza. Diversamente dal calcolo degli enunciati il calcolo dei predicati non è decidibile, come fu dimostrato da A. Church nel 1936. Sul modello del linguaggio del calcolo dei predicati possiamo costruire linguaggi più espressivi; il primo passo è quello di ammettere, diversamente da quanto fatto sinora, la possibilità di quantificare le variabili predicative. Otteniamo così un linguaggio di secondo ordine (secondo in quanto i predicati sono gli oggetti di complessità immediatamente superiore a quello degli individui). Il linguaggio di cui sopra sarà quello del primo ordine. Anche per il secondo ordine ci si può porre il problema di definire rigorosamente una semantica e di formulare un calcolo che ci permetta di ottenere tutte le formule logiche valide. Scende però dal teorema di Gödel che questo non è possibile: un calcolo completo lo si può ottenere solo modificando la definizione di verità naturale e ammettendo che un quantificatore su variabili predicative scorra su un sottoinsieme proprio della totalità delle relazioni definite sul dominio. Proprio in quanto la logica del secondo ordine è un'estensione di quella del primo, il teorema di Church si estende a essa che non è pertanto decidibile. Altri tipi di linguaggi, estensioni del linguaggio del primo ordine, sono possibili e variamente utili, come, per esempio, quelli dei tipi o quelli infinitari in cui si ammettono formule di lunghezza infinita; quello che conta comunque è che il linguaggio dei predicati del primo ordine è sufficiente per riprodurre frammenti significativi di quasi tutte le teorie matematiche. In questo senso la logica dei predicati del primo ordine costituisce il nucleo centrale della moderna indagine logica.