enunciato

Definizione

sm. [sec. XVII; pp. di enunciare]. Le parole che enunciano un teorema (enunciato di un teorema) o un argomento. In particolare, in logica, espressione linguistica per la quale ha senso dire che la stessa è vera o è falsa, per esempio: il tavolo è rotondo; il cane non vola. Altri tipi di enunciato come preghiere, comandi, domande e così via non vengono presi in considerazione.

Logica degli enunciati

La logica degli enunciati ha come obiettivo lo studio delle relazioni di conseguenza tra enunciati, dove per enunciati si intendono quelli dichiarativi. Per precisare, occorre servirsi di un linguaggio formale L, in cui gli enunciati vengono definiti come particolari successioni finite di segni appartenenti a due vocabolari: quello delle variabili enunciative (x, y, z, ...) infinite di numero e quello dei connettivi (∧, ∨ →, ↔, ¬, ). Mentre le variabili enunciative vengono interpretate come enunciati atomici non analizzati, i connettivi corrispondono a quei modi di collegamento che intuitivamente legano un enunciato a un altro. Così “∧” corrisponde a “e”, “∨” a “o, oppure”, “→” a “se... allora”, “↔” a “se e solo se”, “¬” a “non”. Più precisamente, gli enunciati nel linguaggio formale sono ottenuti da quelli atomici (o semplici) mediante le seguenti regole di formazione: se A e B sono enunciati, allora ¬A è un enunciato, A∧B è un enunciato, A∨B è un enunciato, A → B è un enunciato, A↔B è un enunciato. Gli enunciati così ottenuti si dicono molecolari (o complessi). Così fissati gli oggetti che corrispondono agli enunciati in senso intuitivo, si tratta di studiare i legami di conseguenza tra di essi. L'analisi del concetto di conseguenza si può fare su due linee: l'una si basa su una teoria della verità per cui A è conseguenza di B ogni qual volta sia A sia B sono entrambi veri o entrambi falsi o quando B è falso e A è vero, ma non quando B è vero e A è falso. L'altra si basa su una nozione di derivazione per cui A è conseguenza di B quando è derivabile a partire dagli assiomi e, mediante certe regole di deduzione, assumendo B si perviene ad A. Nel primo caso si ha uno studio semantico degli enunciati di L e si parla di sistema logico, nel secondo uno studio sintattico, cioè l'analisi del sistema deduttivo definito dagli assiomi e dalle regole e si parla di calcolo logico. Il linguaggio L è formato da variabili enunciative, connettivi e segni ausiliari. L'alfabeto di L è dato da “p”, “*”, “¬”, “∧”, “∨”, “→”, “↔”, “(“,”)”. Sono formule di L “p”, “p*”, “p**”..., che si indicano con “x”, “y”, “z”,... e che sono le variabili enunciative di L. “x↔y”, “¬y”, “x ∧ z”, ecc. sono ancora formule di L. Il sistema logico di L è dato dal linguaggio L e da un'operazione di conseguenza. La sua analisi semantica si basa sull'assunzione che a ogni formula di L sia possibile associare un valore di verità, in particolare o il valore 1 (o V) o quello 0 (o F) che per convenzione si chiamano rispettivamente verità e falsità e che costituiscono l'insieme dei valori di verità. L'operazione di associare a una formula di L un valore di verità è detta interpretazione. Quando l'interpretazione I associa a una formula x il valore di verità 1 essa è detta modello di x (in simboli Mod I x). A ogni formula atomica di L sarà allora possibile associare o il valore 1 o il valore 0. I connettivi biargomentali vengono interpretati come funzioni di verità aventi argomenti e valori nel dominio dei valori di verità, secondo la tavola seguente:

il connettivo monoargomentale “¬”la tavola è:

I valori di verità delle formule molecolari risulteranno determinati dai valori di verità dei loro singoli componenti. Per esempio: x→(x∨y)

È possibile così individuare tra le formule di L quelle che sono “logicamente vere” o “giuste” come quelle che assumono sempre il valore 1 sotto qualsiasi interpretazione. Queste vengono dette formule valide. Accanto a queste vi sono le formule per le quali esiste almeno un'interpretazione che associa a esse il valore 1 e vengono dette soddisfacibili. Se una formula è valida essa è anche soddisfacibile, ma non necessariamente l'inverso. Se A è valida allora ¬A non è soddisfacibile; se A è soddisfacibile allora ¬non è valida; se A non è valida allora ¬A èsoddisfacibile; se A non è soddisfacibile allora ¬A è valida. Col metodo delle tavole è possibile decidere se una qualsiasi formula di L è valida: se infatti in essa compaiono n variabili, vi saranno 2 interpretazioni distinte ed effettuando 2 prove si potrà stabilire se questa è o non è una formula valida. Le nozioni di modello, validità e soddisfacibilità sono estensibili anche a un insieme qualunque di formule. Un insieme K di formule ha per modello un'interpretazione I se e solo se I è simultaneamente un modello per tutte le formule di K. K è valido quando tutte le interpretazioni I sono modelli di K ed è soddisfacibile quando almeno una I è suo modello. Si dirà allora che una formula x è una conseguenza logica di K (in simboli K|=x) se e solo se ogni interpretazione I che sia modello di K lo è anche di x. Viene così precisato il concetto di conseguenza logica dal punto di vista semantico. Il sistema considerato oltre che decidibile è anche completo. L'analisi, dal punto di vista sintattico, degli enunciati di L si fonda privilegiando un certo numero di formule di L, che costituiranno gli assiomi del calcolo, e dando alcune regole di inferenza. Assiomi del calcolo sono:

1) x→(y→x)

2) (x→(x→y))→(x→y)

3) (x→y)→((y→z)→(x→z))

4) x∧y→x

5) x∧y→y

6) (x→y)→((x→z)→(x→(y∧z))

7) x→x∨y

8) y→x∨y

9) (x→z)→((y→z)→((x∨y)→z))

10) (x↔y)→(x→y)

11) (x↔y)→(y→x)

12) (x→y)→((y→x)→(x↔y))

13) (x→y)→(¬y→¬x)

14) x→¬¬x

15) ¬¬x→x

Regole sono quella di separazione, o modus ponens, e quella di sostituzione. La regola di separazione (R1) è quella che ci consente di passare in una successione in cui compaiano le formule A e A→B alla formula B. La regola di sostituzione (R2) è quella che in una successione di formule in cui compaia la formula A ci consente di aggiungere la formula B, ottenuta sostituendo tutte le occorrenze di una variabile x in A con la formula C. Si dirà che una successione di formule è una dimostrazione della formula A se e solo se è finita; ogni sua formula è o un assioma o il risultato dell'applicazione di una delle due regole a una delle formule precedenti, e l'ultima formula della successione è A. Si chiameranno tesi o teoremi del calcolo quelle formule per le quali esiste una dimostrazione (in simboli per esempio: ⊢A). Diamo un esempio di dimostrazione

⊢x→x

1) (x→(x→y))→(x→y) Assioma 2

2) (x→(x→x))→(x→x) R2 y/x in 1)

3) x→(y→x) Assioma 1

4) x→(x→x) R2 y/x in 3)

5) x→x R1 in 2) e in 4)

Ricordato che assunzione è una formula di cui si ipotizza la legittimità, diciamo ora che una successione finita di formule è una derivazione di A, se ogni formula o è un assioma, o è una assunzione, o è il risultato dell'applicazione di una delle due regole e formule precedenti, se nessuna variabile interna alle assunzioni è stata sostituita e se l'ultima formula della successione è A. Precisata così la nozione di derivazione si può formulare il teorema fondamentale della logica degli enunciati secondo il quale se A è derivabile da B allora A è conseguenza di B e viceversa. Nel primo caso si parla di teorema di validità (se A è derivabile, allora è una conseguenza), nel secondo di teorema di completezza (se A è una conseguenza, allora A è derivabile). Questo teorema ci assicura l'equipotenza dell'analisi semantica e sintattica della logica degli enunciati. Quello qui presentato non è ovviamente l'unico modo per formulare il calcolo della logica degli enunciati; gli altri tipi più diffusi di calcolo sono quelli fondati su schemi di assiomi o su sistemi di derivazione naturale o di Gentzen. Per la semantica quella qui esposta è detta della logica classica. Altri tipi di semantica si fondano su una diversa nozione di verità e danno origine a logiche diverse (intuizionista, minimale, polivalente, ecc.).