Cantor, Georg

Biografia

Matematico e logico tedesco (Pietroburgo 1845-Halle 1918). La sua famiglia, di origine israelita, si trasferì nel 1856 in Germania, a Francoforte sul Meno. Terminati gli studi liceali a Wiesbaden, frequentò dal 1862 i corsi di matematica e filosofia, prima all'Università di Zurigo poi a Berlino, dove fu allievo di E. E. Kummer, W. T. Weierstrass e L. Kronecker. Nel 1867 si laureò e nel 1869 ottenne la libera docenza con lavori relativi alla teoria dei numeri. Successivamente, sotto l'influenza di Weierstrass, i suoi interessi si spostarono verso l'analisi e più particolarmente verso lo studio delle serie trigonometriche. Nel 1872 venne nominato professore e nel 1879 ordinario all'Università di Halle. In questo periodo Cantor svolse un'intensa attività scientifica che lo portò a conseguire il suo massimo risultato, la teoria degli insiemi, ma che gli fu causa anche di frequenti crisi depressive; nel 1884 ebbe la prima manifestazione della malattia nervosa che lo colpì a più riprese fino alla morte avvenuta in una clinica psichiatrica. Sembra probabile che all'insorgere di questa malattia abbia concorso, oltre all'incertezza sulla validità della sua opera, anche l'ostracismo scientifico e accademico dovuto soprattutto a L. Kronecker, che bloccò ogni suo tentativo di insegnare a Berlino.

Studi e opere

La teoria degli insiemi, alla base di pressoché ogni settore della matematica moderna, fu sviluppata da Cantor a partire da tipici problemi matematico-filosofici dibattuti al suo tempo, quali la generalizzazione del concetto di numero e l'assunzione del concetto di infinito attuale. Fu presentata organicamente per la prima volta, tra il 1879 e il 1884, in una serie di memorie dal titolo comune Über unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten (Sugli insiemi infiniti lineari di punti), in cui Cantor tratta di insiemi particolari costituiti di numeri o punti e ottiene notevoli risultati tra cui la definizione di numero reale (precisando alcune idee di Weierstrass) e la dimostrazione dell'esistenza di due tipi di insiemi infiniti non equivalenti: i numerabili e i non numerabili. La teoria degli insiemi fu poi rielaborata in forma astratta, ossia riferentesi a insiemi qualsiasi, in due famose memorie del 1895 e 1897 dal titolo Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre (Contributi alla fondazione della teoria transfinita degli insiemi). Cantor dedicò studi approfonditi al problema del continuo, in particolare alla possibilità di porre in corrispondenza biunivoca fra loro il continuo lineare con un continuo a più dimensioni; a questo risultato pervenne nel 1878 con l'opera Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre (Un contributo alla teoria della molteplicità), facendo uso dei concetti di equivalenza e potenza cardinale. Nello stesso scritto appare inoltre formulata per la prima volta l'ipotesi del continuo che Cantor tentò ripetutamente di dimostrare senza però trovare una soluzione logica e soddisfacente. In questi studi tuttavia si trovano le basi di una delle sue più originali scoperte: la teoria degli ordinali transfiniti mediante la quale estese a insiemi infiniti (ordinati) il concetto di numero. La teoria cantoriana degli insiemi, nella sua forma originaria, sollevò numerosi problemi di ordine logico; le antinomie cui diede luogo portarono alla revisione dei fondamenti della matematica, da cui ebbero origine nuovi importanti sviluppi della logica matematica.

Insieme di Cantor

"Per l'insieme di Cantor vedi figura al lemma del 5° volume." Detto anche continuo di Cantoro ternario di Cantor, è l'insieme dei punti che restano dividendo un segmento dato in tre parti uguali, togliendo quella di mezzo e ripetendo infinite volte tale operazione per i segmenti restanti "Vedi schema vol. V, pag. 361" . L'insieme ternario di Cantor offre il primo esempio di insieme perfetto, cioè coincidente con i suoi punti di accumulazione e tuttavia non denso in alcun intervallo. Ha la stessa potenza dell'intero segmento, benché la misura complessiva delle parti che via via si tolgono uguagli quella del segmento stesso.

Teoria cantoriana degli insiemi

È la teoria cosiddetta “ingenua” degli insiemi, nella quale il concetto di insieme viene assunto come primitivo, e si ammette che ogni proprietà conduca alla formazione di un insieme, composto dagli insiemi che la verificano. Ciò porta a paradossi, tra i quali per esempio il paradosso di Cantor.

Classe totale di Cantor

È la classe definita dalla proprietà di “essere un insieme”, cioè la classe di tutti gli insiemi. Se si afferma che essa stessa è un insieme, si cade in un'antinomia nota come antinomia o paradosso di Cantor; enunciata in termini semplificati, costituisce l'antinomia di Russel.

Teorema di Cantor-Bernstein

Se, dati due insiemi A, B esiste una corrispondenza biunivoca tra A e un sottoinsieme B' di B non coincidente con B e una corrispondenza biunivoca tra B e un sottoinsieme A' di A non coincidente con A, allora esiste una corrispondenza biunivoca tra A e B. Cantor si è chiesto se esistessero insiemi A e B verificanti le condizioni del teorema. La prima dimostrazione rigorosa del teorema è stata data da F. Bernstein nel 1897.

Primo procedimento diagonale di Cantor

Procedimento utilizzato da Cantor per dimostrare che l'unione di un'infinità numerabile di insiemi numerabili è un insieme numerabile.

Secondo procedimento diagonale di Cantor

Procedimento utilizzato da Cantor per dimostrare il seguente teorema di Cantor: dato un insieme A, l'insieme P(A) dei sottoinsiemi di A ha una potenza superiore alla potenza di A; non è cioè possibile porre una corrispondenza biunivoca tra P(A) e A o un suo sottoinsieme.