giochi, teoria dei-

Descrizione generale

Teoria logico-matematica che riferendosi al comportamento di individui o gruppi in situazioni di conflitto, descrive leggi e strategie di comportamento ideale basate sul calcolo combinatorio e sugli insiemi. La teoria dei giochi ha, infatti, come oggetto lo studio delle decisioni individuali in situazioni in cui vi sono interazioni strategiche tra diversi soggetti; le decisioni prese da un soggetto influiscono sui risultati che un rivale può ottenere, secondo uno schema con feedback. Il gioco, dunque, al quale partecipano diversi giocatori, ha una struttura interna di regole che può essere rappresentata analiticamente attraverso le cosiddette forme estese o forme normali; ciascun giocatore elabora una strategia di gioco, vale a dire un piano relativo alle mosse da fare in presenza di diversi possibili comportamenti dei rivali; alla fine del gioco, ciascun giocatore ottiene una remunerazione (payoff). Sebbene alcuni contributi alla teoria dei giochi risalgono agli anni Trenta, la prima opera fondamentale è Theory of Games and Economic Behaviour (1944; Teoria dei giochi e comportamento economico), di J. von Neumann e O. Morgenstern. La teoria dei giochi può validamente essere applicata a problemi economici, politici, sociali, strategico-militari o informatici. Tra i principali risultati ottenuti, la puntualizzazione del concetto di equilibrio di Nash, di equilibrio perfetto, il Folk Theorem nel caso dei giochi ripetuti infinitamente, la soluzione dei giochi con informazione imperfetta, l'applicazione del principio della massimizzazione dell'utilità attesa ai problemi di scelta in condizioni di incertezza.

Classificazione dei giochi

Vi sono diversi criteri per classificare i giochi: giochi a due persone e giochi a più di due persone (solo in questi ultimi si presenta il problema della “coalizione di interessi”); giochi finiti (basati su regole tali che dopo un numero finito di mosse il gioco termina) e giochi infiniti; giochi a somma zero, per i quali, in ogni risultato, la somma totale delle vincite e delle perdite dei giocatori è zero (se hanno interesse solo vittoria, sconfitta o pareggio, alle tre eventualità si attribuiranno le vincite convenzionali rispettivamente +1, -1, 0; si ha quindi che gli usuali giochi di società quali scacchi, dama, filetto, ecc., sono a somma zero); giochi a informazione completa e giochi a informazione incompleta: i primi sono quelli nei quali, come nella dama o negli scacchi, ogni giocatore, prima di fare una nuova mossa, conosce tutte le mosse precedenti; nei secondi, invece, ciò non accade, per esempio per il fatto che i due avversari fanno simultaneamente una mossa, come nella morra. Il problema centrale della teoria dei giochi consiste nello stabilire se un gioco è (o non è) determinato, cioè, in altri termini, se c'è un risultato che può comunque essere raggiunto, nel qual caso il gioco perde interesse e può non essere giocato. I giochi finiti a due persone con somma zero sono tutti determinati e pertanto, in linea teorica, non interessanti. Per quel che riguarda gli scacchi, dato l'elevatissimo numero delle situazioni successive possibili, non si è riusciti a precisare in che senso è determinato, cioè se si può stabilire che vince sempre o il Bianco o il Nero, oppure che l'uno o l'altro possono condurre il gioco in modo da assicurarsi il pareggio. Un teorema, fondamentale nella teoria dei giochi, garantisce però che se il Bianco può assicurarsi il pareggio, lo stesso può fare anche il Nero. In termini assai semplificati, il Nero può cercare di rendere minima la vincita del Bianco, il quale a sua volta può giocare in modo da rendere massima tale minima vincita. Oppure, alla strategia della massima perdita può essere contrapposta dall'avversario la strategia che rende minima tale massima perdita. Un teorema, detto di determinatezza e dovuto a Zermelo e von Neumann, asserisce che il massimo della minima vincita e il minimo della massima perdita coincidono. Tale teorema può essere generalizzato ai giochi finiti a informazione incompleta, nei quali a ogni strategia bisogna assegnare una probabilità. In termini intuitivi, anche nel caso dell'informazione incompleta c'è un equilibrio che può essere raggiunto tra i due contendenti, non in una partita, ma in una serie molto grande di partite. Così, nel giochidella morra cinese, vincite e perdite alla lunga si faranno equilibrio se i due giocatori distribuiranno in modo uniforme (un terzo delle volte, in media, ciascuna) le tre giocate: sasso, carta, forbici.

Albero del gioco

Il concetto di strategia viene precisato nella teoria dei giochi (ci si limita di nuovo ai giochi finiti con due giocatori e somma zero) a partire dal concetto di albero del gioco. Tale albero è un grafo nel quale da ogni situazione dopo n mosse (vertice) si passa alle possibili situazioni dopo (n+1) mosse, collegandole alla precedente mediante un lato. Nell'albero del gioco "Per l’albero del gioco degli scacchi vedi lo schema a pg. 523 del 10° volume." , sempre se il gioco è finito, ogni percorso giungerà a un punto terminale, cioè alla fine della partita. "Per il gioco degli scacchi vedi figura al lemma del 9° volume." Una strategia è, per un giocatore, una regola che gli impone una determinata mossa in ogni punto dell'albero, dopo il quale la mossa tocca a lui. Le strategie sono, nella nostra ipotesi, in numero finito: si può costruire quindi la matrice del gioco, "Per la matrice della morra cinese vedi lo schema a pg. 523 del 10° volume. " "Per il gioco della morra cinese vedi figura al lemma del 9° volume." disponendo in orizzontale le strategie del Nero, in verticale quelle del Bianco, e in ogni incrocio l'esito finale della partita nella quale i due giocatori abbiano seguito le strategie prescelte.

J. von Neumann, O. Morgenstern, Theory of Games and Economic Behavior, Princeton, 1944; J. C. McKinsey, Introduction to the Theory of Games, New York, 1952; C. Berge, Théorie générale des jeux à personnes, Parigi, 1959; E. Burger, Einführung in die Theorie der Spiele, Berlino, 1959; J. von Neumann, O. Morgenstern, Teoria dei giochi e comportamento economico, Torino, 1961; E. S. Venttsel, Introduzione alla teoria dei giochi, Milano, 1964.