costruttivismo (matematica)

indirizzo metodologico basato sul presupposto che la matematica sia una costruzione operata dall'attività del pensiero umano e che quindi tutti gli enunciati matematici riguardino la possibilità di effettuare delle costruzioni mentali. La concezione del costruttivismo, di antiche origini, ha accompagnato tutto lo sviluppo storico della matematica: già nel II libro della Fisica, Aristotele dà una definizione costruttivistica di questa scienza, ma è soprattutto verso la fine del sec. XIX che questa concezione trova un fertile terreno di sviluppo. Essa si manifesta come reazione all'affermarsi della concezione platonica, quale è implicita nelle opere di J. Dedekind, K. Weierstrass e soprattutto di G. Cantor. Tale reazione si delinea ancor prima che in seno alla teoria degli insiemi esploda la crisi delle antinomie e ha in L. Kronecker il principale sostenitore. Il grande matematico tedesco non accetta né l'uso dell'infinito, che sottostava a tale impostazione, né le dimostrazioni esistenziali non comprovate da una costruzione. Se da una parte, per Kronecker, l'infinito era, in matematica, un “modo d'esprimersi”, dall'altra, condizione indispensabile e irrinunciabile per accogliere l'esistenza di enti matematici era quella che essi fossero effettivamente costruibili. Respingeva pertanto l'impiego di qualsiasi totalità infinita e quindi buona parte dell'opera di Cantor. Con l'inizio della crisi dei fondamenti della matematica, la discussione investì non solo la teoria degli insiemi e le conquiste più recenti di questa scienza, ma anche aspetti tradizionalmente acquisiti. La concezione costruttivistica venne portata avanti in modo frammentario dalla scuola francese, i cui esponenti furono H. Poincaré, R. Baire, J. Hadamard, E. Borel e H. Lebesgue. Di H. Poincaré sono noti gli attacchi al logicismo e il rifiuto dell'assioma di scelta di Zermelo. A lui si deve la prima formulazione del principio del circolo vizioso che è alla base dello sviluppo predicativista del costruttivismo. Borel e Lebesgue, nella loro costruzione di una teoria degli insiemi e delle funzioni misurabili, si basarono su principi da essi ritenuti costruttivistici. Borel inoltre evidenziò la necessità di porre la condizione di effettiva decidibilità alla base di ogni affermazione di esistenza. L'ulteriore sviluppo di questo indirizzo metodologico può essere schematicamente rappresentato da due movimenti. L'uno è costituito da quegli autori che si possono raggruppare nell'intuizionismo, i cui maggiori esponenti sono L. E. J. Brower e A. Heyting. L'altro è il predicativismo, che ha tra i suoi esponenti maggiori il Russell di un certo periodo (1908), H. Weyl e Hao Wang. Quest'ultimo aspetto del costruttivismo può genericamente essere caratterizzato dalla condizione che non si possa definire un ente matematico facendo riferimento alla totalità che lo dovrebbe contenere. In sostanza il costruttivismo si presenta come una tendenza riduttiva delle possibilità della matematica, sia per il rifiuto di accogliere all'interno di questa scienza l'ipotesi dell'esistenza di oggetti matematici esterni, sia per la condizione che ogni costruzione deve essere data da una serie finita di passi, ognuno dei quali deve esser ben chiaro alla mente. Sulla scia degli sviluppi della matematica intuizionista, vi è stato un rinascere dell'interesse per il costruttivismo, anche se non più in polemica contro il platonismo, che ha portato ai tentativi di elaborare una teoria generale delle costruzioni che stia alla matematica costruttiva come la teoria degli insiemi sta alla matematica classica (G. Kreisel, M. Goodman, D. Scott).

H. Weyl, Philosophy of Mathematics and Natural Science, Princeton, 1949; E. W. Beth, I fondamenti logici della matematica, Milano, 1963; E. Casari, Questioni di filosofia della matematica, Milano, 1964; G. Kreisel, Mathematical Logic, New York, 1965; C. Cellucci, La filosofia della matematica, Bari, 1967; S. L. Garlsfield, Constructivism and Mathematical Logic, Oxford, 1982.