logicismo

sm. [sec. XVIII; da logica]. Corrente di pensiero che, nell'ambito delle indagini sui fondamenti della matematica, si prefigge lo scopo di ridurre la matematica alla logica. Tale programma si può considerare come una naturale conseguenza del processo di aritmetizzazione che aveva caratterizzato la matematica della seconda metà del secolo scorso. Per quello che riguarda l'analisi si era mostrato come nozioni fondamentali quali quelle di numero razionale, reale e complesso fossero riconducibili alla teoria dei numeri naturali. Un discorso analogo valeva per le geometrie una volta che si fosse proceduto a una adeguata traduzione analitica delle stesse. L'aritmetica dei numeri naturali a sua volta era stata oggetto di un processo di assiomatizzazione che era culminato nelle opere di R. Dedekind (1888) e di G. Peano (1889). Questo sviluppo della sistematizzazione e questo rigore crescente sembravano giustificare l'ipotesi che fosse possibile realizzare un sistema formale in cui sarebbe stato possibile rappresentare tutte le conoscenze matematiche in modo tale che i termini primitivi e gli assiomi utilizzati in esso altro non sarebbero stati che concetti logici e verità logiche. Questo processo aveva quale punto cruciale una rigorosa definizione logica delle nozioni di numero e di classe. Una fondazione logica dell'aritmetica, che consentisse cioè di definire rigorosamente le nozioni fondamentali di questa scienza solo mediante la logica, era lo scopo prefissosi e perseguito nella sua opera da G. Frege. Tale progetto era incentrato sulla possibilità di dare una definizione puramente logica di numero e di classe. Frege non solo riuscì a fare ciò, ma presentò un sistema logico molto potente in grado di esprimere l'aritmetica di Peano e questo grazie alla potenza del sistema stesso. Poco dopo, tuttavia, B. Russell con la sua antinomia (1902), che colpiva proprio un principio fondamentale del sistema di Frege, mostrò come tale sistema comportasse delle contraddizioni. Questa, come altre antinomie, provocò radicali mutamenti nell'indirizzo logicista, primo fra tutti quello di indagare sulla natura della logica stessa. La soluzione proposta dallo stesso Russell con la sua teoria dei tipi comportava un tale indebolimento del sistema logico da rendere praticamente impossibile la ricostruzione al suo interno della matematica. Anche la proposta di A. N. Whitehead e B. Russell di introdurre nel loro sistema dei Principia Mathematica la postulazione dell'assioma dell'infinito, per il quale esiste almeno una classe infinita, e di quello di riducibilità finiva per porre in dubbio la natura puramente logica del sistema stesso. Negli anni Venti L. Chwistek e F. P. Ramsey mostrarono che l'assioma di riducibilità si poteva eliminare. Restava però l'assioma dell'infinito, la cui natura, come fece rilevare Ramsey, non poteva considerarsi puramente logica. Cadde così il logicismo e il suo programma di una “grande logica”, anche se proseguirono negli anni successivi i tentativi di modificare la teoria dei tipi (Chwistek, Ramsey e Russell) al fine di evitare non solo le antinomie, ma anche appelli a principi extralogici e i tentativi di mettere il sistema dei Principia Mathematica (o sistemi equivalenti) al riparo di questa o quella antinomia (Quine, Rosser, Hao Wang).

Bibliografia

W. V. Quine, Mathematical Logic, Cambridge, 1951; J. B. Rosser, Logic for Mathematicians, New York, 1953; L. Wittgenstein, Remarks on the Foundations of Mathematics, Oxford, 1956; Cellucci, La filosofia della matematica, Bari, 1967; J. Van Heijenoort, A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931, Cambridge, 1967; V. M. Abrusci, Logica matematica, Bari, 1992.