Ogni entità che costituisce una successione ordinata, atta a fornire un contassegno o una valutazione precisa di ordine quantitativo. Nella matematica tradizionale si hanno le seguenti classi di numeri:
numeri interi assoluti, numeri interi relativi; numeri razionali assoluti, numeri razionali relativi; numeri reali assoluti numeri reali relativi; numeri complessi. I numeri interi assoluti vengono chiamati anche numeri naturali. In questo quadro, le classi sono disposte in modo che ognuna di esse è contenuta in tutte quelle che le stanno scritte sotto e, se scritta a sinistra, è contenuta anche in quella che le sta scritta a destra e in quella nelle righe successive. Per definire tutte le classi di numeri si può partire dalla classe dei numeri naturali e, con successivi ampliamenti verso destra e verso il basso, invadere tutto il quadro; oppure partire dai numeri complessi e con successive selezioni invadere tutto il quadro verso l'alto e verso sinistra. Le classi dei numeri razionali relativi, dei numeri reali relativi e dei numeri complessi hanno particolare interesse perché in esse sono possibili le 4 operazioni razionali dirette (addizione e moltiplicazione) e inverse (sottrazione e divisione) purché nella divisione il divisore sia ≠0: per questo esse prendono il nome di campi di razionalità o corpi numerici.
Numeri interi assoluti (o naturali)
Nell'assetto logico dell'aritmetica i modi di presentare una classe numerica sono due: o essa può essere definita mediante le classi di numeri che la precedono e quindi ormai già note e si dice allora che la classe è costruita geneticamente; oppure essa è un insieme di enti per i quali si definiscono alcune proposizioni primitive (assiomi) e si dice allora che la classe è definita assiomaticamente. Uno dei più importanti modi per costruire le classi dei numeri fu introdotto da G. Peano alla fine del sec. XIX. Peano definisce assiomaticamente la classe degli interi assoluti e costruisce geneticamente tutte le classi successive. Secondo questo indirizzo si parte da tre concetti primitivi e cioè: numero intero assoluto, zero e successivo di un numero e si stabiliscono cinque proposizioni primitive: A) zero è un numero; B) il successivo di un numero è un numero; C) sia C una classe e sia zero un elemento di questa classe; si abbia inoltre che, se x è un numero appartenente a questa classe, anche il successivo di x, con x qualunque, appartiene a questa classe; allora ogni numero è in C; D) se i successivi di due numeri sono uguali, allora anche i due numeri sono uguali; E) il successivo di un numero non è mai zero, cioè lo zero non è successivo di nessun numero. La proposizione C costituisce il principio di induzione matematica. Si denoti lo zero con il simbolo 0 e si denoti con un apice il successivo di un numero, cioè sia a´ il successivo di a; allora le operazioni dirette (addizione e moltiplicazione) si definiscono per induzione, e precisamente:
Usando le due leggi dell'addizione calcoliamo, a titolo di esempio, le somme dei numeri 0, 1 e 2, avendo indicato con 1 il successivo di 0 (quindi 0´=1), con 2 il successivo di 1 (quindi 1´=2) e analogamente 2´=3, 3´=4. Abbiamo 0+0=0 che si ottiene ponendo nella prima legge dell'addizione a=0; abbiamo inoltre le seguenti uguaglianze:
dove, nella prima uguaglianza abbiamo sfruttato il fatto che 1 è il successivo di 0, nella seconda uguaglianza abbiamo sfruttato la seconda legge dell'addizione, nella terza abbiamo sfruttato il fatto, dimostrato in precedenza, che 0+0=0, nella quarta abbiamo sfruttato nuovamente che 1 è il successivo di 0; abbiamo poi:
dove abbiamo utilizzato un procedimento analogo al precedente; inoltre: 1+0=1 dove abbiamo sfruttato la prima legge; in modo analogo otteniamo:
La definizione di addizione fissa una legge che fa corrispondere a ogni coppia ordinata a,b di numero un numero c=a+b. In particolare, fissato il primo addendo a, l'addizione fissa una legge che fa corrispondere al secondo addendo b il numero a+b; se il secondo addendo è 0 si ha la corrispondenza identica, cioè 0 è il numero indifferente per l'addizione; se il secondo addendo è 1 si ha la relazione di successivo. La definizione di moltiplicazione fissa una legge che fa corrispondere a ogni coppia ordinata (a,b) di numero un numero c=a∤b. In particolare, fissato il primo fattore a, la moltiplicazione fissa una legge che fa corrispondere al secondo fattore b il numero a∤b; quando il secondo fattore è 0 questa legge si riduce alla corrispondenza per cui a ogni numero corrisponde lo 0, mentre quando il secondo fattore è 1 essa si riduce alla corrispondenza identica e 1 è il numero indifferente per la moltiplicazione. Si dimostrano facilmente per induzione le seguenti proprietà dell'addizione: A) (a+b)+c=a+(b+c) (proprietà associativa); B) a+b=b+a (proprietà commutativa); C) se a+c=b+c allora a=b (proprietà di cancellazione); D) esiste il numero indifferente per la somma (lo zero). Sempre per induzione, si dimostrano le seguenti proprietà della moltiplicazione: A´) ab=ba (proprietà commutativa); B´) (ab)c=a(bc) (proprietà associativa); C´) ab=0 se e solo se uno dei due fattori è 0 (legge di annullamento); D´) se ac=bc e c≠0, allora a=b (proprietà di cancellazione); E´) esiste il numero indifferente per la moltiplicazione ed è il numero 1, detto unità. L'addizione e la moltiplicazione sono collegate tra loro dalla proprietà distributiva (del prodotto rispetto alla somma):
Si dice poi che a è maggiore di b, e si scrive a>b, se esiste un numero non nullo c tale che a=b+c; definizione analoga vale per a minore di b (a). Si ha che da a>b e b>c segue a>c (proprietà transitiva). Inoltre dati due numeri a e b si verifica sempre uno e uno solo dei tre casi: a, oppure a=b, oppure a>b. Abbiamo quindi introdotto nei numeri interi assoluti un ordinamento totale. Si ha inoltre che da a>b, per ogni numero intero assoluto c, segue a+c>b. L'addizione e la moltiplicazione godono entrambe della proprietà di monotonia: da b>c segue a+b>a+c e, se c>0, ab>ac. Sia b≠0, si dice che a è multiplo di b se esiste un c tale che bc=a; si dice anche che b è sottomultiplo, o divisore di a. Un numero si dice primo quando ammette come divisori solo se stesso e l'unità. I numeri primi si distribuiscono molto irregolarmente nella successione dei numeri interi assoluti. La sottrazione e la divisione vengono definitecome operazioni inverse rispettivamente dell'addizione e della moltiplicazione: se a>b si dice differenza tra a e b il numeri c tale che a=b+c; esso viene indicato con a-b; se b≠0 ed è un divisore di a, si dice quoziente di a per b il numeri c tale che a=bc. Più in generale, la divisione si può introdurre come segue: assegnati due numeri a e b (b≠0) esiste sempre una e una sola operazione che fa passare ai numeri r e q tali che a=bq+r,.0≤r<b; questa operazione è la divisione con resto; se r=0 ritroviamo la divisione vista precedentemente. Fra i divisori comuni a due o più numeri c'è l'unità; fra i multipli comuni c'è il loro prodotto. Il massimo comun divisore (M.C.D.) di due o più numeri è il più grande dei loro divisori comuni e il minimo comune multiplo (m.c.m.) è il più piccolo tra i loro multipli comuni. Due o più numeri sono primi fra loro se il loro M.C.D. è 1. Le proprietà fondamentali del M.C.D. e m.c.m. sono: A) M.C.D. (ca, cb)=c[M.C.D. (a,b)]; A´) m.c.m. (ca, cb)=c[m.c.m. (a,b)]; B) ogni divisore comune dei due numeri a e b è anche divisore del loro M.C.D.; B´) ogni multiplo comune di due numeri a e b è anche multiplo del loro m.c.m. Sussiste il seguente teorema fondamentale dell'aritmetica: ogni numero maggiore di 1 che non sia primo si può rappresentare come prodotto di fattori primi, in uno e in un solo modo quando si prescinda dall'ordine dei fattori stessi. Si definisce l'elevamento a potenza nel seguente modo, per induzione: a0=1, ab+1=ab∤a. L'estrazione di radice non è sempre possibile e si definisce nel seguente modo: sia n un numero e siano a e b due numeri tali che bn=a; allora b si dice radice n-ma di a e si scrive
. § L'insieme delle proposizioni primitive di Peano è irriducibile, nel senso che nessuna di queste proposizioni è dimostrabile logicamente partendo dalle altre, quando si assumano come concetti primitivi quelli di numero, zero e successivo. Tale insieme di proposizioni definisce implicitamente una classe intesa solo come successione: diventa la classe dei numeri interi assoluti non appena vengano definite l'addizione e la moltiplicazione. Un altro metodo per l'introduzione dei numeri naturali è dovuto a G. Cantor. Esso è fondato sulla considerazione delle classi di oggetti (vedi insieme), intendendo con tale termine oggetti di natura qualunque e tali che sia possibile distinguerli l'uno dall'altro. Date due classi A e B, se esiste un criterio che fa corrispondere a ogni oggetto a di A uno e un solo oggetto b di B e viceversa, si ha che fra le due classi si è stabilita una corrispondenza biunivoca e che A e B sono equivalenti (A≡B). L'equivalenza gode delle seguenti proprietà fondamentali: A) A≡A (proprietà riflessiva); B) se A≡B anche B≡A (proprietà simmetrica); C) se A≡B e B≡C anche A≡C (proprietà transitiva). Per esempio la classe che non contiene alcun oggetto (detta classe nulla o insieme vuoto e indicata con il simbolo Ø), è equivalente solo a se stessa; tutte le classi aventi un solo oggetto (dette classi unità o singoletti) sono tra loro equivalenti. Una classe è equivalente a una sua parte se e solo se essa ha infiniti oggetti. Per esempio la classe N dei numeri 1, 2, 3,... è equivalente alla sua parte formata dai numeri pari 2,4,6,...; la legge che associa a ogni numero il suo doppio è infatti una corrispondenza biunivoca tra le due classi. Date le classi A e B, se esiste una corrispondenza biunivoca tra A e una parte di B ma non esiste una corrispondenza biunivoca tra A e B, si pone B>A. Date due classi A e B vale sempre una e una sola delle seguenti relazioni: A≡B; A>B; B>A (vedi teorema di Cantor-Bernstein). Inoltre, date tre classi A, B e C, se si ha A>B e B>C, allora si ha anche A>C (proprietà transitiva). Le classi che così si ottengono si possono ripartire in classi di classi se si pongono in un'unica classe tutte le classi tra loro equivalenti. Numero cardinale è il concetto che si ricava per astrazione come ciò che vi è in comune tra tutte le classi di una medesima classe di classi. Presa poi una classe finita A di oggetti li si ordina con un criterio arbitrario in modo che un oggetto sia il primo e gli altri siano uno alla volta i successivi; questo ordinamento induce in tutte le classi equivalenti alla classe considerata uno stesso ordinamento. In queste classi ordinate indichiamo con h₁ la classe formata con i primi elementi, con h₂ la classe formata con gli elementi immediatamente successivi, ... con hn la classe formata con gli elementi di posto n. Si giunge così, astraendo, al concetto di numero ordinale, numero che rappresenta il posto occupato da elementi corrispondenti in tutte le classi fra loro equivalenti. Esiste una corrispondenza biunivoca fra il numero ordinale n0, che indica il posto occupato da an in A, e il numero cardinale nc, che indica il numero di elementi della classe costituita da (a₁... an). Al concetto di numero intero naturale si giunge astraendo dalla classe formata dai due numeri (n0, nc). In questo assetto l'addizione dei numeri viene definita mediante la riunione di classi disgiunte e la moltiplicazione mediante la composizione di classi disgiunte: date due classi A e B la classe prodotto P=A×B è la classe avente per oggetti tutte le coppie che si possono formare associando a un qualsiasi oggetto di A un qualsiasi oggetto di B. Con questo criterio si costruisce la classe dei numeri interi assoluti riducendo al minimo la parte assiomatica sulla base di concetti puramente logici. In questo indirizzo B. Russell, seguendo anche G. Frege, preferisce dare del numero una definizione nominale, partendo da concetti puramente logici e assumendo un solo postulato, detto assioma dell'infinito: assegnata una classe di oggetti, esiste sempre un oggetto che non appartiene alla classe. Il problema più importante nel quale si impegnarono i matematici alla fine del secolo scorso e all'inizio di questo fu di evitare contraddizioni che spesso venivano messe in luce nei vari modi per introdurre i numeri. Il problema della coerenza, cioè della non contraddittorietà dell'aritmetica, e della matematica in generale, diventò il problema centrale del nostro secolo. Un altro problema, nel quale rientra come caso particolare il precedente, riguarda la completezza dell'aritmetica: esso consiste nel vedere se è possibile adoperare calcoli logici che permettano di derivare in modo puramente meccanico tutte le conseguenze logiche di un dato sistema di assiomi. Nel 1930 Gödel riuscì a dimostrare la completezza per sistemi di assiomi che si formalizzano nel linguaggio della logica dei predicati del primo ordine (con i quali non si abbraccia tutta l'aritmetica elementare), mentre nell'anno successivo riusciva a dimostrare il noto teorema dell'incompletezza dell'aritmetica e quello sulle dimostrazioni di non contraddittorietà, perché non esiste nessun sistema di assiomi dal quale discendano tutte le proposizioni vere sui numeri naturali. Questo non significa che sia sempre impossibile caratterizzare modelli matematici con sistemi di assiomi, dal momento che la matematica non può essere concepita come un unico calcolo, ma richiede una serie continua di sistemi logici sempre più ricchi. L'assiomatizzazione mantiene la sua importanza dove la questione principale non sia quella della caratterizzazione assiomatica.
Numeri interi relativi
Sono un ampliamento della classe degli interi assoluti e si introducono quando si devono considerare quantità della stessa specie che si possono concepire in due sensi opposti: per esempio, temperatura sopra o sotto lo zero, altitudine sopra o sotto il livello del mare; i due sensi si indicano con i due segni + e - per cui un numero intero relativo è l'insieme costituito da un intero assoluto a e da uno dei due segni prefissati. Il valore assoluto di un numero relativo è il numero che si ha privando del segno il numero relativo e lo si indica: |+a |=a, |-a |=a. Poniamo poi +0=-0; utilizziamo allora il simbolo 0 per indicare, oltre al numero intero assoluto 0, il numero intero relativo -0=+0. Inoltre due numeri interi relativi non nulli si dicono uguali se e solo se hanno lo stesso segno e se hanno lo stesso valore assoluto. Definiamo nella classe dei numeri interi relativi le operazioni di addizione e di moltiplicazione e la relazione di ordine totale sfruttando le operazioni di addizione e di moltiplicazione e la relazione di ordine introdotte nella classe dei numeri interi assoluti. Introduciamo l'addizione nel seguente modo:
Per definire l'operazione di moltiplicazione, introduciamo la seguente regola dei segni:
Introduciamo nella classe dei numeri interi relativi un ordinamento ponendo:
per ogni numero intero assoluto a non nullo; inoltre se a e b sono numeri interi assoluti non nulli, poniamo -
Se a e b sono numeri interi assoluti non nulli tali che a>b, poniamo:
Possiamo poi considerare la classe dei numeri interi assoluti una sottoclasse dei numeri interi relativi ponendo +a=a, per ogni numero intero assoluto a. Analogamente a quanto si è detto per gli interi assoluti, si definiscono la sottrazione (che in questa classe è un'operazione sempre possibile), la divisione con resto, l'elevamento a potenza e l'estrazione di radice (che non è sempre possibile).
Numeri razionali assoluti
Si introducono come segue: consideriamo tutte le coppie (a,b) di numeri interi assoluti con b≠0. Definiamo nell'insieme di tali coppie una relazione di equivalenza. Fissata una di tali coppie (a,b) diciamo equivalenti a essa tutte le coppie del tipo (na, nb) con n numero intero assoluto non nullo. Chiamiamo numero razionale assoluto una classe di equivalenza. Indichiamo con a/b la classe d'equivalenza cui appartiene la coppia (a,b). Quindi un numero razionale assoluto è definito da infinite coppie di numeri interi assoluti. Per evitare ciò possiamo considerare solo le coppie a e b di numeri interi assoluti con a e b primi tra loro. Definiamo nei numeri razionali assoluti le operazioni di addizione e di moltiplicazione e la relazione d'ordine nel modo seguente:
Possiamo considerare la classe dei numeri naturali assoluti come sottoclasse della classe dei numeri razionali assoluti ponendo a=a/1. Vi sono altri modi per introdurre i numeri razionali, per esempio usando le grandezze geometriche. Si considera la grandezza A e la sua multipla secondo il numero intero m, indicata con mA, e la sua sottomultipla secondo l'intero n, indicata con
. Si pone poi
e si definisce così il numero razionale
come operatore su grandezze. Da qui si procede analogamente a quanto si è fatto per introdurre i numeri secondo Peano, con la differenza che ora non si opera sui numeri ma sulle grandezze. Si noti che una parte dei numeri razionali, e cioè quelli che hanno come denominatore 1, possono essere posti in corrispondenza biunivoca coi numeri interi; si dice che l'insieme dei numeri razionali contiene un sottoinsieme che è isomorfo a quello dei numeri interi.§ I numeri razionali relativi sono un'ovvia estensione dei razionali assoluti; l'ampliamento è perfettamente analogo all'ampliamento che porta dagli interi assoluti agli interi relativi.
Numeri decimali finiti
Sono numeri razionali del tipo A/10 con A e n interi; un numero razionale a/b, con a e b interi e primi fra loro è decimale finito se
(con A intero) e, quindi, se 10 è divisibile per b, e cioè se b è prodotto di una potenza di 2 per una potenza di 5; dividendo il numeratore con il denominatore di un numero decimale si arriva dopo alcune cifre decimali a ottenere come resto 0. I numeri decimali periodici sono numeri razionali del tipo a/b (frazione generatrice del numero) dove b non è il prodotto di una potenza di 2 per una potenza di 5; dividendo il numeratore per il denominatore si ottengono i numeri decimali periodici formati da una parte intera (uguale a 0 se a) seguita da infinite cifre decimali che, da un certo punto in poi, si ripetono a gruppi sempre nello stesso ordine; questi gruppi costituiscono il periodo del numero; se il periodo comincia subito dopo la virgola si hanno numeri decimali periodici semplici; se fra la virgola e il periodo vi è un altro gruppo di cifre (antiperiodo) che non si ripete si ha il numero decimale periodico misto. Per esempio, in
è l'antiperiodo, 6 è il periodo e il numero è decimale periodico misto. Non si può mai ottenere un numero che abbia come periodo 9. Dato un numero periodico, per determinare la sua frazione generatrice si applica la seguente regola: il numeratore è dato dal numero formato dalla parte intera seguita dalle cifre dell'antiperiodo e del periodo, diminuito del numero formato dalla parte intera seguita dall'antiperiodo e il denominatore è il numero formato da tanti 9 quante sono le cifre del periodo seguiti da tanti 0 quante sono le cifre dell'anti periodo. Esempi:
Numeri reali assoluti
Si possono introdurre per mezzo delle classi di numeri razionali, seguendo la costruzione di Dedekind. Se A è una classe di numeri razionali assoluti, essa è limitata superiormente quando esiste h tale che ogni numero a di A sia minore o uguale ad h (a≤h) ed è limitata inferiormente se esiste k tale che ogni numero a di A sia maggiore o uguale a k (a≥k); la classe A ammette un massimo a0 quando a0 appartiene ad A- e per ogni numero a di A si ha a≤a0; ammette un minimo a0, se a0 appartiene ad A e, per ogni numero a di A si ha a≥a0. Chiamiamo sezione (A,B) dei numeri razionali assoluti, una suddivisione dei numeri razionali assoluti in due classi A e B, verificanti le seguenti tre condizioni: ogni numero razionale assoluto appartiene a una e una sola classe, ogni elemento di A è minore di ogni elemento di B, la classe A non è dotata di massimo. Chiamiamo numero reale assoluto una di tali sezioni. Notiamo che ogni numero razionale assoluto r è determinato dalla sezione (A,B) dove A è formata da tutti i numeri razionali assoluti a tali che a, mentre B è formata da tutti i numeri razionali assoluti b tali che r≤b. La classe dei numeri razionali assoluti può essere quindi considerata una sottoclasse dei numeri reali assoluti. Data una sezione (A,B) chiamiamo separatore di (A,B) un numero razionale assoluto x tale che, per ogni a di A e ogni b di B, si abbia a Una sezione può avere al massimo un elemento separatore. Vi sono sezioni non aventi alcun numero razionale separatore. Si dice che sezioni di quest'ultimo tipo definiscono i numeri irrazionali assoluti. Si consideri, per esempio, la sezione (A,B) dove A è formata dai numeri razionali assoluti a tali che a²<2, mentre B è formata dai numeri razionali assoluti b tali che 2≤b². La sezione (A,B) appena definita viene ovviamente indicata con
. Abbiamo quindi che la classe dei numerirazionali assoluti e la classe dei numeri irrazionali assoluti formano la classe dei numeri reali assoluti. Introduciamo ora nella classe dei numeri reali assoluti (cioè delle sezioni) la definizione di uguaglianza e la relazione d'ordine. Dati due numeri reali α=(A,B) e α´=(A´,B´), si pone α=α´ se, per ogni a di A e per ogni b´ di B, si ha a e inoltre, per ogni a´ di A´ e per ogni b di B si ha a´b di B e qualche a´ di A´ tale che b≤a´. Introduciamo ora le operazioni di addizione e di moltiplicazione. Date due classi A e C di numeri razionali assoluti, indichiamo con A+C la classe dei numeri del tipo a+c dove a è un qualsiasi elemento di A e c è un qualsiasi elemento di C; analogamente indichiamo con A∤C la classe dei numeri del tipo a∤c. Dati i numeri reali assoluti α=(A,B) e β=(C,D) poniamo α+β=(A+C, B+D) e α∤β=(A∤C, B∤D). Per le operazioni di addizione e moltiplicazione tra numeri reali assoluti sono valide tutte le proprietà viste nel caso dei numeri interi. Notiamo che il numero reale 0 può essere visto come la sezione (A, B) dove A è l'insieme vuoto e B è la classe di tutti i numeri razionali assoluti. Un numero reale α≠0 è pertanto dato da una sezione (A,B) dove α appartiene ad A e non a B. Dato un numero reale α=(A,B)≠0 poniamo α-1=(A´,B´) dove A´ è dato dai numeri del tipo 1/a dove a è un qualsiasi elemento non nullo di A e B´ è dato dai numeri del tipo 1/b dove b è un qualsiasi elemento di B. Ne segue che il numero reale assoluto 1/α è l'inverso del numero reale assoluto α. Definiamo nella classe dei numeri reali assoluti l'operazione di divisione ponendo, per ogni coppia α e β, con β≠0, α/β=α∤β-1.
Numeri reali relativi
Si può definire la classe dei numeri reali relativi in modo analogo a quanto fatto in precedenza. Ogni numero reale relativo α è dotato di un suo opposto -α tale che α+(-α)=0. Nella classe dei numeri reali relativi data, possiamo definire l'operazione di sottrazione ponendo, per ogni coppia α e β, α-β=α+(-β). Nel campo reale è sempre possibile risolvere il problema della misura di un segmento e, in parte, quello dell'estrazione della radice ennesima. Infatti, assegnati due segmenti A e B, se essi hanno un multiplo comune, cioè se esistono due interi naturali m e n per cui
è un numero razionale che costituisce la misura di B rispetto ad A (A e B sono commensurabili); esistono anche segmenti, come per esempio il lato e la diagonale di un quadrato, che non ammettono un multiplo comune (A e B sono incommensurabili); allora la misura di una grandezza rispetto all'altra è un numero irrazionale. Nel campo dei numeri reali è anche sempre possibile, dato un numero reale positivo α=(A´,A‟) e un intero positivo n, determinare un numero reale positivo x, la cui potenza ennesima sia uguale ad α. Un'altra definizione di numeri reali è quella dovuta a Cantor che li introduce per mezzo di successioni convergenti di numeri razionali relativi sulle quali stabilisce un calcolo. Il maggior inconveniente di questa teoria deriva dal fatto che uno stesso numero reale è definito da una classe di infinite successioni che convergono allo stesso limite.
Numeri complessi
Sono enti individuati da coppie ordinate di numeri reali (a, b) e il loro campo è dato dalle seguenti definizioni: uguaglianza: (a, b)=(c, d), se a=c e b=d; addizione: (a, b)+(c, d)=(a+c, b+d); moltiplicazione: (a, b)∤(c, d)=(ac-bd, ad+bc). Per l'uguaglianza, l'addizione e la moltiplicazione valgono le proprietà viste per gli altri insiemi numerici. Lo zero del campo complesso è il numero (0, 0) e il numero (1, 0) è l'unità del campo complesso. La differenza è (a,b)-(c,d)=(a-c, b-d); l'inverso di un numero complesso α=(a,b) è
; il quoziente di due numeri β e α con α≠0 è il prodotto di β per l'inverso di α. La classe dei numeri (a,.0) è in corrispondenza biunivoca con la classe dei numeri reali per cui la totalità dei numeri (a,.0) costituisce un campo numerico che è in isomorfismo con il campo dei reali relativi. Il numero (0,1) è l'unità immaginaria che si indica con i. Per le definizioni precedenti si ha che: (a, b)=(a, 0)∤(1,0)+(b,0)(0,1)= =a(1,0)+b(0,1)=a∤1+b(0,1)=a+ib che è la forma algebrica di un numero complesso. Facendo le successive potenze di i si ha: i=(0,1), i² =(0,1)∤(0,1)= =-1, i3=i2∤i=- i, i4=i3∤i=-i∤i= =+1, i5=i ... ecc. L'immagine geometrica di un numero complesso si ha considerando un piano (piano di Argand-Gauss) su cui sia fissato un riferimento cartesiano ortogonale (x,y); l'insieme delle coppie (a,b) è in corrispondenza biunivoca con i punti (a,b) del piano (a è l'ascissa e b l'ordinata), i numeri reali hanno l'immagine sull'asse x (asse reale), i numeri immaginari puri (del tipo ±ib) hanno l'immagine sull'asse y (asse immaginario). Le espressioni del tipo
(con a>0) nel campo dei numeri reali non hanno significato; se però si pone
, cioè i²=-1, con i unità immaginaria, il numero immaginario viene definito come prodotto di un numero reale b≠0 per l'unità immaginaria cioè un numero della forma ib. I numeri immaginari permettono di risolvere equazioni del tipo x2n+a=0 (con a>0); più in generale, i numeri complessi permettono di risolvere equazioni di 2º grado con discriminante minore di zero. Con l'introduzione dei numeri complessi si amplia il campo dei numeri reali e si ottiene un nuovo campo detto dei numeri complessi che è il più adatto per considerarvi le variabili x, y, z, ... quando sono vincolate da legami rappresentati da polinomi, nelle variabili stesse, uguagliati a zero. Per valutare appieno l'importanza dell'introduzione dei numeri complessi basta osservare che il teorema fondamentale dell'algebra è valido solo nel campo complesso; secondo tale teorema, ogni equazione algebrica di grado n, f(x)=0, ammette esattamente n radici nel campo complesso, quando ciascuna venga contata secondo il proprio ordine di molteplicità: questo teorema non è naturalmente valido nel campo reale. Per modulo di un numero complesso α≡(a,b) si intende l'espressione
l'argomento di α è l'angolo ϑ di cui deve ruotare l'asse reale per sovrapporsi al segmento, che nella rappresentazione grafica corrisponde ad α; due numeri complessi il cui argomento differisce di un multiplo di 2π si dicono congrui fra loro. Valgono le seguenti relazioni: a=ρ cos ϑ, b=ρ sin ϑ, da cui si ricava che un numero complesso si può anche scrivere nella forma
che è la forma trigonometrica di un numero complesso. In base alle considerazioni precedenti si può dimostrare la seguente formula di de Moivre:
che vale per qualunque intero m. Un altro modo per rappresentare un numero complesso è dato dalla formula di Eulero per cui si pone eiϑ≡cos ϑ+i sin ϑ, ed e-iϑ≡cos ϑ-i sin ϑ; per un numero complesso di modulo ρ si ha α≡ρ eiϑ § Un sottoinsieme interessante di numeri complessi è l'insieme di numeri a+ib, con a e b interi, detti interi di Gauss.
Numeri ipercomplessi
Se si considerano dal punto di vista dell'algebra moderna tutti gli insiemi numerici sin qui definiti, si ha che l'insieme N degli interi assoluti con l'aggiunta dello zero è un gruppo rispetto all'addizione con elemento neutro lo zero; l'insieme Z degli interi è un anello; l'insieme Q dei razionali assoluti è un gruppo rispetto alla moltiplicazione con elemento neutro 1; l'insieme Q dei razionali relativi è un anello commutativo, ma poiché gli elementi di Q diversi dall'elemento neutro rispetto alla somma (lo 0) formano un gruppo commutativo rispetto al prodotto, Q è un corpo commutativo, o campo; inoltre, poiché, presi a e b in Q con a, esiste sempre un intero n per cui a∤n>b, Q è un campo archimedeo. Anche l'insieme R dei reali e l'insieme C dei complessi sono campi. La teoria dei numeri ha successivamente ampliato il campo dei numeri complessi introducendo i numeri ipercomplessi fra i quali hanno una certa importanza, per l'uso che se ne fa nelle geometrie non euclidee, i quaternioni e i biquaternioni. Mentre per la rappresentazione grafica dei numeri complessi è necessario il piano (spazio a 2 dimensioni) per i quaternioni si considera uno spazio a 4 dimensioni S4 nel quale sia fissata una base 1, i, j, k; allora il quaternione è il vettore r=x₁+x₂i+ +x₃j+x4k, dove x₁, x₂, x₃, x4 sono numeri reali. Vogliamo ora introdurre in S4 le operazioni di addizione e di moltiplicazione. Ricordiamo che con la notazione algebrica, l'addizione e la moltiplicazione di due numeri complessi α=a+bi e β=c+di sono date da:
In S4, dati i vettori r=x₁1+x₂i+x₃j+x4k e s=y₁1+y₂i+y₃j+y4k si definisce la loro somma in modo analogo a quanto fatto per i numeri complessi:
Per definire il prodotto di r e s si definiscono innanzitutto i prodotti dei simboli 1, i, j, k per mezzo della seguente tabella moltiplicativa:
Quindi, per esempio, si ha: i∤i=-1 e i∤j=k Dalla tabella segue che non è valida la proprietà commutativa, si ha infatti:
Il prodotto dei quaternioni r e s viene quindi definito utilizzando regole analoghe a quelle utilizzate per i numeri complessi:
I quaternioni con queste operazioni sono un corpo non commutativo. I quaternioni sono stati recentemente utilizzati nello studio della fisica teorica associando lo spazio a quattro dimensioni dei quaternioni allo spazio a quattro dimensioni dato dalle tre dimensioni spaziali e dalla dimensione temporale. I biquaternioni sono numeri del tipo P+iQ, dove P e Q sono quaternioni e i è l'unità immaginaria. Le operazioni di addizione e moltiplicazione tra i biquaternioni vengono date in modo analogo a quanto fatto per i quaternioni. L'operazione di moltiplicazione non gode della proprietà associativa; i biquaternioni sono quindi un corpo non associativo e non commutativo.
Funzioni p-adiche
Nel corpo dei razionali sono importanti alcune funzioni, dette funzioni p-adiche, così definite: fissato un numero primo p, ogni numero razionale a si può scrivere in uno e un solo modo nella forma
, dove r e s sono primi fra loro, p non è un loro divisore e n è un opportuno intero positivo, nullo o negativo. Si introduce, relativamente a ogni numero a una funzione Φ, che in determinate condizioni rappresenta le proprietà del valore assoluto di un numero reale |α|, e cioè:
con un procedimento simile a quello di G. Cantor per ottenere i numeri reali, a partire dai razionali, si ottengono, a partire da queste funzioni Φ, i corpi p-adici i quali, contrariamente al corpo reale, sono corpi non archimedei.
Bibliografia
F. Enriques (a cura di), Questioni riguardanti le matematiche elementari, Bologna, 1924-27; Th. Dantzig, Number: the Language of Science, New York, 1954; G. Ifrah, Storia universale dei numeri, Milano, 1989; O. Bassanelli, Gli insiemi e i numeri, Napoli, 1990.
