assiòma
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Lessico
sm. (pl. -i) [sec. XVI; dal greco axíōma, cosa degna, principio autorevole]. Il termine designa quelle proposizioni iniziali di un sistema formale che vengono asserite senza dimostrazione e dalle quali è possibile derivare tutti i teoremi del sistema con l'applicazione delle regole deduttive del sistema stesso. In senso corrente, principio, affermazione di indiscutibile evidenza e quindi generalmente accettata.
Storia
Benché, secondo la tradizione, i pitagorici abbiano per primi presentato la geometria elementare come una scienza deduttiva cui sono premesse alcune proposizioni generali, indimostrate, gli assiomi appunto, questa nozione viene per la prima volta formulata in modo prossimo a quello moderno da Aristotele. Secondo quest'ultimo, assioma è “quel principio che dev'essere necessariamente posseduto da chi vuol apprendere checchessia” e quindi assiomi sono “le proposizioni prime onde parte la dimostrazione”. Si tratta di un “principio comune” (anche a scienze diverse), certo, necessario ed evidente, che basta enunciare perché sia riconosciuto vero, anzi, in alcuni casi non è nemmeno espressamente formulato, tale è la sua evidenza. Aristotele opera una distinzione tra assioma da una parte e definizioni e postulati dall'altra; definizioni e postulati costituiscono le tesi. Postulato è “ciò che, pur essendo dimostrabile, viene assunto e utilizzato senza dimostrazione”. Tale suddivisione è presente anche in Euclide, per il quale gli assiomi sono “nozioni comuni”, mentre i postulati enunciano proposizioni generali che però riguardano relazioni tra elementi geometrici. Ben diversa è l'accezione che questo termine ha nella logica stoica, dove compare con il significato di proposizione, giudizio. Salvo alcuni casi, l'uso aristotelico prevale nello sviluppo del pensiero successivo. Pressoché tutto il Medioevo accoglie la ben nota definizione di S. Boezio secondo la quale un assioma è una “proposizione per sé evidente, che, una volta udita, chiunque ammette”. È solo dal sec. XVI in poi che la nozione di assioma prende sfumature di significato più diversificate, anche in relazione ai tentativi di giustificare in vario modo la sua assoluta validità. Mentre P. Ramo si limita a usare assioma come termine tecnico, in luogo di propositio, F. Bacone ritiene gli assiomi raggiungibili o mediante la deduzione o mediante l'induzione e li considera verità eterne e immutabili. Tali sono pure per Cartesio, per il quale si tratta di “nozioni comuni” aventi sede nella nostra mente. Verità evidenti sono anche per J. Locke e per G. W. Leibniz, ma, mentre per il primo gli assiomi sono proposizioni, esperienze immediate, per il secondo essi sono dimostrabili e riducibili a definizioni. Nella logica di Port-Royal, gli assiomi sono “proposizioni chiare ed evidenti per se stesse”. Per B. Pascal si devono “assumere come assiomi solo fatti che siano di per se stessi completamente evidenti”. Di immediata evidenza sono anche per I. Kant che così li definisce nella Critica della ragion pura: “Gli assiomi sono principi sintetici a priori in quanto immediatamente certi”. Essi sono “intuitivi” ed “evidenti” e pertanto in filosofia “non si troverà nessun principio che meriti nome di assioma”, mentre ciò accade in matematica “perché essa può riunire a priori e immediatamente i predicati dell'oggetto mediante la costruzione dei concetti nell'intuizione dell'oggetto stesso”. Il principio su cui fonda gli assiomi dell'intuizione (“tutte le intuizioni sono quantità estensive”) non è considerato da Kant “esso stesso un assioma, ma serve soltanto a fornire la possibilità degli assiomi in generale”. J. Stuart Mill si avvicina a Locke quando considera gli assiomi “verità sperimentali, generalizzazioni dell'esperienza”. Si deve al pensiero scientifico-filosofico dell'ultimo secolo la maggior evoluzione che la nozione di assioma ha subito sinora. Infatti l'analisi psicologica ha mostrato come gli assiomi siano frutto di una lenta acquisizione e di svariate esperienze elementari, ponendo così in discussione la loro evidenza e la loro necessità. Necessità che viene minata anche dalla realizzazione di geometrie non euclidee in cui si fa a meno di assiomi, considerati prima fondamentali. A volte, non solo si pone in discussione la vaghezza dei principi generali sino a quel momento considerati come assiomi, ma anche la loro stessa validità come nel caso dell'assioma: “Il tutto è maggiore della parte”. È vero che per G. Frege gli assiomi sono “quelle proposizioni che sono vere, ma non vengono dimostrate perché la loro conoscenza scaturisce da una fonte di conoscenza diversa da quella logica e che si può chiamare intuizione spaziale”, ma d'altra parte D. Hilbert obietta che questa componente intuitiva degli assiomi è “matematicamente senza importanza”. Anzi, un ulteriore salto nella considerazione degli assiomi sta proprio nel fatto che essi non sono più proposizioni dotate di contenuto ma, come dice D. Hilbert nei Fondamenti della geometria (1899), essi “sono pure forme enunciative, semplici successioni di simboli formate in base a certe regole”. Anche J.-H. Poincaré considera gli assiomi mere convenzioni. Si dissolve così la tradizionale distinzione tra assiomi e postulati, in quanto la loro scelta diventa arbitraria, condizionata da ragioni di opportunità. Essa è subordinata al rispetto delle proprietà di completezza, coerenza e indipendenza, oltre a quelle inespresse di maggior maneggevolezza e funzionalità che un insieme di assiomi deve possedere. D'altra parte, man mano che la logica moderna prosegue nel suo cammino, l'attenzione degli studiosi si sposta sempre più dagli assiomi al sistema stesso in cui questi sono inseriti. La differenza fondamentale tra la concezione classica e quella moderna degli assiomi (sistemi di assiomi) risiede comunque nel fatto che, nell'impostazione astratta odierna, agli assiomi non è da attribuire alcun significato determinato; essi si presentano come relazioni formali tra termini primitivi, definiti soltanto implicitamente proprio da quelle relazioni e suscettibili quindi di tutte le interpretazioni concrete (“modelli” di un sistema di assiomi), che verifichino quelle relazioni formali.