logaritmo

Descrizione generale

sm. [sec. XVII; dal greco lógos, ragione, rapporto+arithmós, numero]. Si definisce logaritmo di un numero positivo in una data base, diversa da uno, l'esponente che si deve attribuire alla base per ottenere il numero. Per esempio, il logaritmo in base 2 di 8 è 3; infatti, 2³=8. In generale, per indicare il logaritmo in base a di un numero c si scrive: log c, con c>0, a>0, a≠1. Sono anche usati i seguenti simboli: log c e ln c, i quali indicano il logaritmo in cui la base è il numero di Nepero e, detto logaritmo naturale o logaritmo neperiano; Log c e Lg c, che indicano il logaritmo in base 10 di c, detto anche logaritmo decimale, logaritmo volgare o logaritmo di Briggs. Si ha in particolare: log.1=0, essendo a⁰=1∤log a=1, da a¹=a; poiché da si ha . Si possono dimostrare le seguenti proprietà:

Queste proprietà sono estremamente utili nei calcoli perché facilitano la risoluzione di certe espressioni numeriche o permettono di eseguire calcoli per i quali non esistono semplici procedimenti aritmetici; per esempio, per calcolare si applica la proprietà D) e si ricava:

;, essendo log N=0,16.902, nelle tavole dei logaritmi decimali si trova: N=1,4758. Per il cambiamento della base nei logaritmi valgono le seguenti relazioni:

Se la base è un numero maggiore di 1, i numeri maggiori di 1 hanno logaritmi positivi; l'inverso si ha se la base è un numero compreso tra 0 e 1. L'insieme di tutti i logaritmi dei numeri positivi in una data base a è un sistema di logaritmi a base a. I sistemi di logaritmi più usati in matematica sono quello dei logaritmi naturali, aventi per base il numero reale e=2,718281..., noto come numero di Nepero, ottenu to da e (questo sistema usato soprattutto nella teoria) e quello dei logaritmi decimali aventi base 10 (solitamente usato nei calcoli). I logaritmi sono in genere numeri irrazionali; la parte intera del logaritmo di un numero è detta caratteristica, la parte decimale è detta mantissa.

Matematica: logaritmo decimale

Per determinare il logaritmo decimale di un numero maggiore di 1 è necessario tener presente che Log 1=0, Log 10=1, Log 100=2, Log 1000=3, e così via, per cui la caratteristica dei numeri compresi tra 1 e 10 è.0, dei numeri compresi tra 10 e 100 è 1, in generale la caratteristica di N, dove N è un numero la cui parte intera è costituita di n cifre, è uguale a n-1. Per determinare la mantissa si usano le tavole logaritmiche; esse riportano, generalmente con 5 cifre, la mantissa dei numeri compresi tra 1 e 10.000. Per i numeri maggiori di 10.000 la mantissa viene calcolata mediante interpolazione lineare. Si dimostra che moltiplicando o dividendo un numero per una potenza qualunque di 10, la mantissa del logaritmo non cambia. Perciò, p.es., i numeri 1,37; 13,7; 0,137; 137, ecc. hanno tutti la stessa mantissa. Per determinare il logaritmo decimale dei numeri positivi minori di 1, si deve tener presente che Log 0,1=-1, Log 0,01=-2, Log 0,001=-3, ecc., per cui la caratteristica dei logaritmi dei numeri compresi tra.0,1 e 1 è -1, dei numeri compresi tra 0,01 e 0,1 è -2, dei numeri compresi tra 0,001 e 0,01 è -3 e così via. Si può, per esempio, calcolare

e non si esegue la sottrazione, ma si segna una lineetta sopra il due, intendendo che del logaritmo solo la parte intera è negativa mentre la parte decimale è positiva. Questo accorgimento talvolta semplifica i calcoli. In pratica, la caratteristica del logaritmo di un numero N con 0<N<1 è uguale a tante unità negative quanti sono gli zeri che precedono la prima cifra significativa; la mantissa è uguale alla mantissa del numero costituito dalle sole cifre significative. Per il passaggio dal sistema a base 10 a quello a base e vale la formula: log N=2,30258∤Log N, che permette di calcolare il logaritmo naturale di un numero di cui sia noto il logaritmo decimale e viceversa. §Logaritmo integrale, o iperlogaritmo, o logologaritmo, è una funzione

di grande importanza nella teoria dei numeri.

Bibliografia

L. Santoboni, Manuale logaritmo-trigonometrico, Torino, 1957; N. Bourbaki, Elementi di storia della matematica, Milano, 1963; A. Poggi, G. Nurzia, Algebra ed elementi di analisi matematica, Firenze, 1968; R. Faure, A. Kaufmann, M. Denis-Papin, Manuale di matematica, Milano, 1971.