lìmite
Indice
Lessico
sm. [sec. XIII; dal latino limes-mítis].
1) Confine, segno di confine: il limite fra due Stati; il fiume funge da limite tra le due proprietà. Per estensione, linea di delimitazione, specialmente nei campi sportivi.
2) Confine ideale che indica il livello massimo o minimo entro il quale può verificarsi o manifestarsi un dato fenomeno. Con accezioni specifiche: A) in geografia fisica, limite superiore della foresta, valore altimetrico oltre il quale non si hanno condizioni idonee alla presenza di vegetazione arborea: è in stretta relazione con la latitudine e le condizioni climatiche e pedologiche locali; limite o linea della vegetazione arborea, zona al contatto tra foresta temperata e tundra; limite delle nevi persistenti, vedi ghiacciaio. B) Nella scienza delle costruzioni, limite di elasticità o di proporzionalità, vedi deformazione; limite di snervamento, vedi snervamento; limite di rottura, vedi rottura; limite di fatica, vedi fatica; limite di Atterberg, vedi A. J. Atterberg. C) In geologia, zona di contatto tra unità litologiche o, comunque, tra corpi geologici diversi. Il limite geologico può essere stratigrafico o strutturale secondo che il contatto sia conseguenza di fenomeni di sedimentazione o di eventi tettonici. D) In ecologia, il livello massimo o minimo raggiungibile da una determinata condizione ambientale al di sotto o al di sopra del quale non è possibile la vita di un organismo o di un gruppo di organismi. Il limite ecologico riguarda principalmente situazioni stazionarie, quando il limite è rappresentato dalle sostanze essenziali disponibili in quantità prossime al minimo necessario (vedi Liebig, Justus von, sottolemma legge di Liebig). Il limite ecologico può essere rappresentato anche da condizioni di eccesso di sostanze e fattori (per esempio luce, acqua, calore). Così gli organismi hanno un limite ecologico minimo e uno massimo che definiscono un intervallo di tolleranza. Alcuni aspetti interessanti caratterizzano i limiti ecologici. Per esempio gli organismi possono avere un ampio intervallo di tolleranza per un fattore e un intervallo più ristretto per un altro; gli organismi con ampi intervalli di tolleranza per tutti i fattori sono quelli maggiormente diffusi. E) Nel pugilato, il numero massimo di riprese previsto per un incontro: incontro terminato prima del limite.
3) Fig., punto, grado, termine oltre il quale non si può o non si deve andare: c'è un limite per tutto; i limiti della legalità, della decenza; restare nei limiti del giusto, del possibile, del reale; entro certi limiti, fino a un certo punto, entro una certa misura; limiti d'età, quelli imposti dalla legge per l'esercizio di determinate attività o diritti; al limite, come ipotesi estrema: al limite arriverò in ritardo; senza limite, illimitato; molto grande, straordinario: una generosità senza limite; nello sport: superare un limite, battere un primato. In particolare, punto estremo, massimo grado a cui può giungere una data facoltà o prestazione: il limite di velocità, di carico; i limiti della mente umana; essere al limite delle forze, della resistenza. Anche come agg. inv. posposto: velocità limite, la massima possibile; caso limite, la condizione ultima, reale o ipotetica, in cui un dato fenomeno può verificarsi.
4) Concetto base dell'analisi matematica su cui è costituito tutto il calcolo infinitesimale; per limite superiore e limite inferiore di una funzione, vedi funzione.
5) In geometria, in una proiettività tra due rette dello spazio affine ampliato sono detti punti limite i punti corrispondenti ai punti impropri delle due rette; in un'omografia tra due piani sono dette rette limite le rette corrispondenti alle rette improprie dei due piani.
6) In gnoseologia, l'insieme delle condizioni che fondano e definiscono il valore stesso dell'oggettività in rapporto al reale, o, come dice Kant, la relazione della cosa come appare (fenomeno) con la cosa come è in se stessa (noumeno) anche se questa resta un concetto limite privo di determinazione.In metafisica, il limite è l'imperfezione inerente a ogni grado inferiore della realtà (Platone), o l'essere in potenza che condiziona l'essere in atto (Aristotele), o la creaturalità (cioè la condizione di creatura, Sant'Agostino), o il momento finito e dialettico di una realtà in perenne divenire (idealismo romantico), o infine la finitudine radicale che caratterizza l'esistenza umana (esistenzialismo).
Matematica: limite di una successione
Data una successione di numeri reali a₁, a₂,..., an, si dice che essa è convergente al limite A quando, comunque sia fissato un intorno γ di A, la successione cade definitivamente entro γ; cioè a ogni intorno γ di A si può coordinare un indice n´ dipendente da γ tale che per ogni n≥n´ l'elemento an appartiene a γ. Poiché ogni γ contiene un intorno (A-ε, A+ε) con ε opportuno, la condizione precedente può essere espressa: la successione data converge al limite A quando a ogni
si può coordinare un
, dipendente da ε, tale che per ogni
´ si abbia
. In simboli si scrive
oppure:
per
, da leggersi: an tende ad A per n tendente a più infinito. Si dice poi che la successione ha limite+∞ (rispettivamente, -∞) quando, preso un numero positivo M comunque grande, esiste un intero positivo n0 tale che, per tutti gli
, si abbia an>M (rispettivamente, an<-M), e si scrive:
oppure
per n→+∞ (rispettivamente,
, oppure an→-∞ per n→+∞). Per lo studio dei criteri che permettono di stabilire se esista, finito o infinito, o non esista il limite di una successione, vedi successione.
Matematica: limite finito di una funzione
Sia f(x) definita in un intervalloI e sia x0 un punto di I ; si dice che f(x), per x→x0, tende al limite A quando a ogni intorno V(A) di A si può coordinare un intorno U(x0) di x0, che generalmente dipende da V(A), tale che per ogni punto x di I, distinto da x0 e appartenente a U(x0), il valore di f(x) appartenga a V(A); si scrive
oppure
per
. Un'altra definizione equivalente alla precedente è questa: la funzione f(x) tende ad A per x→x0 quando a ogni numero ε>0 si può coordinare un numero δ positivo, in generale dipendente da ε, tale che per ogni punto x appartenente a I, distinto da x0 e che dista da x0 meno di δ, sia
, cioè sia
.
Matematica: limite infinito di una funzione
Sia f(x) una funzione definita in un intervallo I e sia x0 un punto di questo intervallo; si dice che f(x) per x→x0 tende al limite +∞, o diverge a +∞, quando a ogni numero K>0 si può coordinare un δ, dipendente da K, tale che, per ogni punto x di I distinto da x0 e che dista da x0 meno di δ, sia f(x)>K; si scrive:
oppure
per
Si dice, invece, che f(x), per x→x0, tende al limite-∞ quando a ogni numero K>0 si può coordinare un δ dipendente da K, tale che per ogni punto x di I distinto da x0 e che dista da x0 meno di δ, sia f(x)<-K; si scrive
oppure
per x→x0. Quando, per x→x0, si ha f(x)→+∞, oppure f(x)→-∞, la retta x=x0 è un asintoto verticale del grafico di f(x) .
Matematica: limite destro e limite sinistro
Se si considerano solo i valori di f(x) che appartengono a un intorno destro x0<x
il limite dalla destra; in modo analogo si definisce il limite dalla sinistra.
,
,
Matematica: limite infinito
Se l'insieme I in cui è definita la f(x) non è limitato a destra, allora si introduce il limite di f(x) per x→+∞, considerando gli intorni di+∞ (un intorno siffatto è l'insieme dei valori di x maggiori di un valore assegnato); in maniera analoga si introduce il limite di f(x) per x→-∞. Per x→+∞ si hanno i seguenti casi (casi analoghi si hanno per x→-∞):
;
. Nel caso in cui si abbia
, la retta y=A è un asintoto orizzontale per il grafico della funzione f(x).
Matematica: teorema di unicità dei limiti
Se f(x)→A e f(x)→B per x che tende allo stesso valore, è A=B. Da questo teorema segue che le relazioni f(x)→A, f(x)→+∞, f(x)→-∞ sono a due a due incompatibili.
Matematica: proprietà dei limiti
Per il calcolo dei limiti valgono alcune proprietà che sono valide purché i limiti si intendano tutti calcolati per x tendente allo stesso punto x0 (o per x→+∞, ecc.), cioè siano tutti limiti simultanei. Le più importanti sono le seguenti: lim [f(x)±g(x)]= = lim f(x)±lim g(x); lim [c∤f(x)]= = c∤lim f(x); con c≠0; lim [-f(x)]= =-lim f(x); lim [f(x)∤g(x)]=lim f(x)∤lim g(x); lim [f(x)]= [lim f(x)];
regole precedenti non valgono quando si presentano forme di indeterminazione, cioè espressioni per le quali non è possibile calcolare il limite immediatamente. Ciò può accadere nel caso del rapporto, per x→A, di due funzioni che tendono tutte e due a zero o tutte e due all'infinito, per x→A. Le forme di indeterminazione, o forme indeterminate, sono simbolicamente rappresentate dalle espressioni:
. Così il
è indeterminato in quanto il calcolo immediato fornisce l'espressione indeterminata
; ta- le limite tuttavia esiste e vale 1. Per risolvere questi casi esistono vari metodi. Si può semplificare, se è possibile, la funzione, per esempio:
che è della forma
diventa, dividendo numeratore e denominatore per x:
allo stesso fine si può trasformare opportunamente la funzione, come nel seguente caso:
che è del tipo 0∤∞, diventa
Matematica: limiti fondamentali
Spesso nel calcolo dei limiti è utile tenere presenti anche i limiti fondamentali che sono i seguenti: A)
dimostrabile considerando in una circonferenza di raggio unitario un arco di ampiezza x, il suo seno, la sua tangente e la disuguaglianza: sin x
tenendo presente che per x↔0 il primo e l'ultimo membro tendono a 1 e applicando un semplice criterio di confronto si ricava l'asserto. B)
questo si ricava tenendo presente che per le successioni è
e. Perciò, ponendo
e quindi
si ha
Come applicazione dei limiti fondamentali, sia da calcolare
del tipo
; applicando la A) si ha:
Nel calcolo dei limiti un criterio importante è basato sul confronto degli infiniti e degli infinitesimi, perché gli infiniti di ordine inferiore e gli infinitesimi di ordine superiore vengono trascurati. Per esempio, nel calcolare
poiché x² è infinitesimo di ordine superiore rispetto a x non viene considerato; basta calcolare
analogamente per
poiché e prevale su tutti gli infiniti, basta calcolare
Nel calcolo di limiti in cui compaiono forme di indeterminazione è utile applicare la regola di G.-F.-A. de L'Hôpital: essa afferma che se f(x) e g(x) sono funzioni continue e derivabili in (a,b) e ammettono in (a
mentre i
e
sono entrambi infiniti o infinitesimi, allora
Questa relazione è valida anche se c=a oppure c=b e si estende al caso in cui si cerca il limite per x→±∞. Se poi anche
e
sono entrambi infiniti o infinitesimi e il rapporto
tende a un limite, anche il rapporto
tende allo stesso limite, e così di seguito; cioè il teorema di de L'Hôpital si può applicare più volte. Poiché tutte le forme di indeterminazione si possono ricondurre alle
con particolari accorgimenti (per esempio, nel caso in cui
sia del tipo 0∤∞, si considera
, oppure
l'applicazione del teorema di de L'Hôpital permette di risolvere la gran parte dei casi in cui si presentano forme di indeterminazione.