omografìa

Lessico

sf. [omo-+-grafia]. L'essere omografo, l'avere uguale scrittura. In geometria corrispondenza biunivoca senza eccezioni tra i punti di due spazi proiettivi di uguale dimensione che fa corrispondere forme di prima specie dei due spazi. Se L e L´ sono due rette proiettive, un'omografia tra L e L´ è una corrispondenza biunivoca di L su L´ che conserva i birapporti. Se, invece, S e S´ sono due spazi proiettivi di uguale dimensione r≥2, un'omografia fra essi è una corrispondenza biunivoca che conserva gli allineamenti, cioè trasforma terne di punti allineati di S in punti allineati di S´ e viceversa. Il termine omografia è sin. di proiettività, termine che si usa generalmente nel caso in cui i due spazi siano sovrapposti. Un metodo per determinare un'omografia tra due spazi proiettivi S e S´ è fornito dal seguente teorema fondamentale: se S e S´ sono spazi proiettivi di dimensione n, allora esiste una e una sola omografia tra essi che trasforma n+2 punti scelti arbitrariamente in S, purché mai n+1 di essi giacciano in uno stesso iperpiano, in altri n+2 punti arbitrari di S´, soggetti alla medesima condizione dei primi. Se (x₀, x₁,..., x) e (x´₀, x´₁,..., x´) sono coordinate omogenee di S, e, rispettivamente, di S´, le equazioni di un'omografia di S in S´ sono: kx´_i=a_i₁x₁+a_i₂x₂+...+a_ix, con k fattore non nullo, i=0,1,..., n e la matrice ||a_ij||, con 0≤ i, j≤n non degenere, cioè con determinante non nullo. Se S ed S´ sono sovrapposti, si può considerare il prodotto di due omografie, che risulta essere ancora una omografia; le omografie di S in sé formano un gruppo, detto gruppo proiettivo di S. Se si pensa lo spazio proiettivo S, di dimensione n, realizzato a partire da uno spazio vettoriale V di dimensione n+1, allora ogni omografia di S in sé è indotta da un automorfismo di V. Si ha pertanto un omomorfismo tra il gruppo lineare generale di V e il gruppo proiettivo di S. Il nucleo di tale omomorfismo, cioè l'insieme degli automorfismi di V che inducono l'omografia identica, è costituito dagli automorfismi di V che trasformano ogni vettore in un suo multiplo, secondo uno scalare non nullo, dipendente da ciascun automorfismo. § Talvolta ha interesse considerare trasformazioni di S in S´, di equazioni analoghe a quelle di una omografia, la cui matrice però sia degenere di rango r Si parla in tal caso di omografia degenere di rango r. In analogia con il caso degli spazi proiettivi, è detta omografia (o isomorfismo) vettoriale tra due spazi vettoriali n-dimensionali, V e V´, una qualunque trasformazione lineare tra essi. Le equazioni di una omografia vettoriale sono x´_i=a_i₁x₁+...+a_inx_n, con i=1,..., n; la matrice dei coefficienti è non degenere.