successióne (matematica)

Generalità

Insieme di elementi posti in corrispondenza biunivoca con l'insieme degli interi naturali; tali elementi possono essere di natura qualunque: numeri, vettori, matrici, funzioni ecc. Per denotare una successione ci si serve di una lettera munita di un indice che rappresenta il numero intero che corrisponde al numero stesso, cioè {x_n} (n=0, 1, 2,...). Nella successione di numeri reali, una successione {x_n} è limitata superiormente se esiste un numero K tale che x_n≤K per ogni n; è limitata inferiormente se esiste un numero H tale che x_n≥H per ogni n; è limitata quando è al tempo stesso limitata superiormente e inferiormente. Una successione è crescente quando x_n<x_n⁺¹, è monotona non decrescente quando x_n≤x_n+₁ per ogni n; in modo analogo si definiscono le successioni decrescenti e monotone non crescenti. Una successione {x_n} è convergente al limite A quando a ogni ε>0 si può coordinare un indice n´=n´(ε), in generale dipendente da ε, tale che per ogni n>n´ sia |x_n-A|<ε e si scrive: , oppure: x_n —→ A per n —→ +∞. Una successione {x_n} è divergente a +∞ quando a ogni K>0 si può coordinare un n´=n´(K), in generale dipendente da K, tale che sia x_n>K per n≥n´; in tal caso si scrive:

Una successione {x_n} è divergente a -∞ quando a ogni K>0 si può coordinare un n´=n´(K), in generale dipendente da K, tale che sia x_n<-K per n≥n´; in tal caso si scrive:

Sono regolari le successioni che sono convergenti o divergenti (a +∞ o a -∞), irregolari tutte le altre. Le successioni monotone sono sempre regolari. Per esempio: la successione {x_n} con x_n=n diverge a +∞; la successione {x_n} con x_n=n² diverge a +∞; la successione {x_n} con x_n=-n diverge a -∞; la successione {x_n} con x_n=1/n converge a 0; la successione {x_n} definita da x₂_n=n² e x₂_n⁺¹=0 è irregolare. Date due successioni {a_n} e {b_n}, se si ha a_n≤b_n, per ogni n, allora si dice che {a_n} è minorante di {b_n} e che {b_n} è maggiorante di {a_n}.

Criterio di confronto

Criterio di confronto: se a_n —→ A e b_n —→ B ed è a_n≤b_n, allora anche A≤B; se a_n —→ 0 ed è |b_n|≤|a_n| per n>n´ anche b_n —→ 0; da a_n≤b_n e a_n —→ +∞ anche b_n —→ +∞; sia a_n≤b_n≤c_n, allora da a_n —→ A e c_n —→ A anche b_n —→ A; se invece sia a_n sia c_n tendono all'infinito, anche b_n tende all'infinito.

Criterio generale di convergenza di Cauchy

Criterio generale di convergenza di Cauchy: una successione {x_n} è convergente quando, e solo quando, a ogni ε>0 è possibile coordinare un intero s, in generale dipendente da ε, tale che per qualunque coppia di interi (m, n) entrambi maggiori o uguali di s sia: |x_m-x_n|<ε.

Criteri per le successioni infinitesimali

Una successione è infinitesima quando converge a 0; esistono alcuni criteri per stabilire se una successione è infinitesima: criterio del confronto: se |a_n|≤|b_n|, da b_n —→ 0 segue a_n —→ 0; criterio della radice: se esiste un ρ con 0<ρ<1 per il quale sia, da un certo n in poi, allora a_n —→ 0; criterio del rapporto: sia a_n≠0, se esiste un ρ con 0<ρ<1 per il quale sia, da un certo n in poi, , allora a_n —→ 0. Questi criteri sufficienti per le successioni infinitesime si adattano in modo ovvio anche come criteri sufficienti per le successioni divergenti osservando che a_n —→ ∞ equivale a 1/a_n —→ 0, con a_n≠0.

Le operazioni

Le operazioni con le successioni si possono eseguire sugli elementi di uguale posto, ottenendo così una nuova successione composta con una data legge mediante le precedenti. Per esempio, da {a_n}, {b_n}, {c_n} si può ottenere

.problema consiste nel determinare il carattere di questa successione; ciò è possibile a meno che si manifestino i casi di indeterminazione che possono essere risolti solo quando siano note altre informazioni sulle successioni componenti oppure applicando opportuni teoremi, per esempio il teorema de l'Hôpital (v. limite). Accenniamo solo alle seguenti proposizioni, che del resto sono molto evidenti: da a_n —→ A, +∞, -∞ e b_n —→ B segue rispettivamente a_n+b_n —→ A+B, +∞, -∞; da a_n —→ A, +∞, -∞, ∞, irregolare e c>0 segue rispettivamente c∤a_n —→ cA, +∞, -∞, ∞, irregolare e analogamente per c<0; da a_n —→ A e b_n —→ B segue a_n∤b_n —→ A∤B; da a_n —→ 0 e |b_n|<k segue a_n∤b_n —→ 0; da a_n —→ ∞ e b_n —→ B≠0 a_n∤b_n —→ ∞; da a_n —→ ∞ e b_n —→ ∞ a_n∤b_n —→ ∞ e si possono precisare i segni quando le divergenze di a_n e b_n sono di segno determinato; da a_n —→ A e h intero naturale: a^h_n —→ A^h e da a_n —→ +∞: a^h_n —→ +∞.

Per a_n —→ ∞: .

Da a_n —→ A≠0 e b_n —→ B segue . In modo analogo si procede per le potenze e i logaritmi. Si può pertanto concludere con la seguente osservazione generale: sia F(α, β,..., γ) un'espressione costruita mediante un numero finito di operazioni razionali, potenze, esponenziali, logaritmi, applicate sulle indeterminate α, β,..., γ e siano assegnate le successioni {a_n}, {b_n},..., {c_n} tutte regolari; allora può essere affermato che lim F(a_n, b_n,..., c_n)= =F(lim a_n, lim b_n,..., lim c_n), nell'ipotesi che F(a_n, b_n,..., c_n) abbia significato per n abbastanza grande e che F (lim a_n, lim b_n,..., lim c_n) non perda significato per la presenza di forme di indeterminazione.

Successioni di funzioni

Una successione di funzioni f₁(x), f₂(x),..., f_n(x), tutte definite in un campo A tende a una funzione f(x) in un campo A´ contenuto in A quando, fissato un ε>0, si può determinare per ogni x di A´ un n´, in generale dipendente da ε, tale che, per quell'x di A´ e per n>n´ sia |f_n(x)-f(x)|<ε se n´ non dipende da x, la convergenza è uniforme.

M. Villa, Repertorio di matematiche, Padova, 1951; N. Bourbaki, Eléments de mathématique (théorie élémentaire), Parigi, 1958; L. Amerio, Elementi di analisi superiore, Milano, 1964; idem, Analisi matematica, Torino, 1990.