differenziale (matematica)

Descrizione generale

Il differenziale è la parte principale dell'incremento subito da una funzione y=y(x) quando alla variabile indipendente x si attribuisce un incremento finito Δx. Più precisamente, la funzione y=y(x), definita nell'intervallo (a, b), ammette differenziale in x₀, punto di (a, b), quando l'incremento di y relativo al passaggio dal punto x₀ a x₀+Δx si può rappresentare come somma di due termini nel modo seguente:

dove P è indipendente da Δx ed ε(Δx) è infinitesimo con Δx; il prodotto P∤Δx è detto differenziale di f(x) in x₀ e si scrive dy=P∤Δx. Dividendo i due membri dell'uguaglianza per Δx e passando al limite per Δx —→ 0, si ottiene Δy/Δx= =P+ε(Δx) e quindi:

Poiché tale limite non è altro che la derivata nel punto x₀ si ha che, se f(x) ammette differenziale in x₀, essa è anche derivabile in x₀ ed è P=f´(x₀); quindi si può scrivere dy=f´(x₀)∤dx, in cui dx è l'incremento infinitesimo della variabile indipendente. In figura è data una rappresentazione geometrica del differenziale; P₀P rappresenta un arco della curva che costituisce il grafico della funzione y=y(x); il segmento P₀Q è l'incremento finito Δx; il segmento QP è il corrispondente incremento Δy; la tangente trigonometrica dell'angolo ϑ, formato dalla tangente geometrica alla curva in P₀ e dalla parallela all'asse x, è la derivata y´(x₀)=tgϑ. Per una formula di trigonometria che mette in relazione gli elementi di un triangolo rettangolo è QT=P₀Q tgϑ e quindi QT=Δx tgϑ. Si ha quindi QT=Δxf´(x₀). Il segmento orientato QT è quindi la parte principale dell'incremento QP=Δy ed è pertanto il differenziale dy della funzione nel punto x₀. Il segmento TP è l'immagine del termine Δx∤ε(Δx) che è un infinitesimo di ordine superiore a Δx. Da ciò si ricava che il differenziale dy è l'incremento della y, quando da x₀ si passa a x₀+Δx, calcolato lungo la tangente al grafico anziché lungo il grafico. Se si conviene di definire l'incremento Δx di x il differenziale della variabile x, cioè Δx=dx, si ha dy=f´(x)∤dx da cui si ricava la notazione dovuta a Leibniz per la derivata f´(x)=dy/dx. Le proprietà formali del differenziale e le regole di differenziazione sono pertanto analoghe a quelle per la derivazione.

Differenziale di ordine superiore

Se f(x) ammette differenziale in un intervallo e x₀ è un punto di questo intervallo, si dice differenziale secondo di f(x) relativo al punto iniziale x₀ e all'incremento dx della variabile indipendente x il differenziale del differenziale dy:

Analogamente si definiscono il differenziale di terzo ordine, il differenziale di quarto ordine, ecc. Condizione necessaria e sufficiente affinché y=f(x) ammetta il differenziale di ordine n in un punto x₀ è che ammetta in x₀ derivata di ordine n finita.

Differenziale totale e parziale

Per funzioni di due o più variabili la definizione di differenziale è analoga. Si consideri, per esempio, una funzione di due variabili f(x, y) definita in un campo A e sia (x₀, y₀) un punto interno ad A. Assegnati a x₀ e y₀ due incrementi Δx e Δy in modo che (x₀+Δx, y₀+Δy) sia ancora punto di A, f(x, y) è differenziabile in (x₀, y₀) se l'incremento subito da f(x, y) nel passaggio da (x₀, y₀) a (x₀+Δx, y₀+Δy) si può rappresentare nel modo seguente:

dove , con r>0, P e Q non dipendenti da Δx e da Δy e ε(Δx, Δy) infinitesimo con ρ. L'espressione df=Δx∤P+Δy∤Q è detta differenziale totale, mentre ciascuno degli addendi è detto differenziale parziale. Con procedimento identico a quello visto nel caso di funzioni di una variabile si arriva a:

dove i simboli hanno il significato noto (vedi anche derivata). In modo analogo si definisce il differenziale per funzioni di tre o più variabili.

Differenziale esatto

È l'espressione dU=A(x, y) dx+B(x, y) dy con A e B funzioni definite in un campo D del piano (x, y), quando coincide col differenziale totale di una funzione di due variabili. Esiste una condizione necessaria e sufficiente per stabilire se tale espressione è un differenziale esatto: A e B devono essere continue insieme alle loro derivate parziali ∂A/∂y e ∂B/∂x e deve essere ∂A/∂y=∂B/∂x. I differenziali esatti di funzioni di tre o più variabili si definiscono in modo analogo.