increménto

Lessico

sm. [sec. XVII; dal latino incrementum, da increscĕre, aumentare]. Aumento, crescita, sviluppo: l'incremento della produzione;incremento demografico, aumento della popolazione in un dato intervallo di tempo e con riferimento a un certo ambito territoriale; dare incremento alle arti, alle scienze, al commercio.

Demografia

È definito incremento assoluto la differenza fra l'ammontare della popolazione alla fine dell'intervallo s considerato P_t+s e l'ammontare all'inizio dell'intervallo P_t. Rapportando l'incremento assoluto all'intervallo s si ottiene l'incremento, o saggio di incremento, assoluto medio (annuo, mensile, ecc.). Al fine di paragonare incrementi demografici relativi a popolazioni diverse (nel tempo o nello spazio), è tuttavia necessario ricorrere a misure indipendenti dall'ammontare delle popolazioni stesse. Si usa, quindi, calcolare il saggio di incremento relativo rapportando l'incremento assoluto all'ammontare iniziale della popolazione oppure alla media aritmetica o geometrica della popolazione all'inizio e alla fine dell'intervallo . Per ottenere il saggio di incremento relativo medio annuo (o mensile, ecc.), si può o dividere i tre tassi ora indicati per s oppure, più correttamente, ricorrere alla formula dell'interesse composto, tenendo conto del fatto che ogni individuo, per il tempo che permane nella popolazione considerata, contribuisce al suo aumento: P_t+s=P_t(1+r), da cui si ricava il tasso di incremento medio annuo relativo r. Si usa distinguere inoltre l'incremento naturale, cioè dovuto al movimento naturale della popolazione, dall'incremento migratorio, il primo dato dalla differenza fra nati e morti in un certo intervallo di tempo, il secondo dalla differenza fra immigrati ed emigrati (sempre in un dato intervallo di tempo). L'incremento totale sarà quindi uguale alla differenza fra nati più immigrati e morti più emigrati: (N+I)-(M+E). I quozienti di incremento naturale, migratorio e totale si ottengono quindi rapportando la differenza sopra indicata alla popolazione media dell'intervallo.

Matematica

In analisi matematica, per una funzione y=f(x), definita nell'intervallo [a,b], dato dagli x tali che a≤x≤b, è detto incremento della variabile indipendente la variazione da essa subita nel passaggio da un punto iniziale x₀ di [a,b] a un punto x₀+h=x, sempre di [a,b]; l'incremento vale x-x₀=h ed è spesso indicato con Δx. Corrispondentemente, è detto incremento della funzione y=f(x), relativo al passaggio dal punto iniziale x₀ al punto variato x₀+h, la differenza f(x₀+h)-f(x₀) ed è spesso indicato con Δf; il rapporto tra il secondo incremento e il primo è detto rapporto incrementale e a esso è legato il concetto di derivata. Se l'incremento della funzione si può decomporre nel seguente modo

dove ε(h) —→ 0 per h —→ 0, si arriva alla definizione di differenziale. I due addendi del secondo membro, se h è un incremento infinitesimo, sono infinitesimi: il primo, che è il differenziale, è infinitesimo dello stesso ordine di h e costituisce la parte principale dell'incremento, il secondo è invece un infinitesimo di ordine superiore. Si parla, invece, di teorema degli incrementi finiti quando, date due funzioni f(x) e g(x), definite, continue in [a,b] e dotate di derivata nei punti interni di [a,b], esiste almeno un valore x₀ interno a [a,b] per il quale risulta essendo g(b)≠g(a) e g´(x)≠0 nei punti interni di [a,b].