triàngolo

Lessico

sm. [sec. XIV; dal latino triangŭlum, da tri-, tri-, e angŭlus, angolo].

1) Figura geometrica piana ottenuta congiungendo con segmenti tre punti non allineati, o anche la parte di piano ottenuta per intersezione dei tre angoli che si ottengono congiungendo ciascuno dei tre punti con gli altri due; questi angoli diconsi angoli interni del triangolo, mentre i tre punti diconsi vertici del triangolo. Il triangolo è pertanto un poligono di tre lati ed è il poligono con il numero minimo di lati che si possa considerare.

2) Per estensione, oggetto, superficie, tracciato, disposizione che ricorda tale figura geometrica: un triangolo di stoffa, di legno; un triangolo di terra su cui erano piantati dei fiori; a triangolo, di oggetto, figura e simili che ha più o meno questa forma o di più oggetti così disposti: uno scialle piegato a triangolo; schierarsi a triangolo. Con accezioni specifiche: A) segnale stradale mobile, costituito da tre barre snodabili disposte a forma di triangolo equilatero e munite di dispositivo catarifrangente, di cui per legge ogni autoveicolo deve essere munito per esporlo in caso di avaria dietro il veicolo.B) Strumento idiofono a percussione costituito da una sbarretta d'acciaio piegata a forma di triangolo con un vertice aperto. Percosso con una bacchetta di acciaio, dà un suono indeterminato. Di antica origine, fu introdotto in orchestra alla fine del sec. XVIII, ma era noto molto prima. C) Pannolino di forma triangolare usato per i neonati. D) In marina, triangolo di certezza, zona di mare, delimitata dai rilevamenti di tre o più punti diversi, all'interno della quale è sicuramente situata la nave; triangolo di posizione, triangolo sferico, individuato sulla sfera celeste, che ha come vertici il polo elevato dell'osservatore, il suo zenit stimato e l'astro osservato, usato per ricavare il punto nave; triangolo di prua, in un'imbarcazione con vela Marconi, la superficie del fiocco; serve nella determinazione della stazza di regata; triangolo di regata, nelle regate veliche, percorso definito da tre boe disposte a triangolo.

3) Fig., gruppo di tre elementi distinti ma in qualche modo collegati (e quasi disposti ai vertici di un ideale triangolo geometrico): il triangolo industriale, la regione compresa fra le città di Milano, Torino e Genova, caratterizzata da un'economia fortemente industrializzata. In particolare, la triade costituita da marito, moglie e amante di uno di essi: la commedia si impernia sul classico triangolo.

Geometria: generalità

I triangoli costituiscono le figure fondamentali della geometria piana elementare, essendo possibile ricondurre a essi molte questioni. Una classificazione dei triangoli in base ai lati li suddivide in triangoli scaleni, aventi tutti e tre i lati disuguali, triangoli isosceli, aventi due lati uguali, triangoli equilateri, aventi tutti e tre i lati uguali. Una classificazione in base agli angoli interni suddivide i triangoli in triangoli acutangoli, con tutti gli angoli interni acuti, triangoli ottusangoli, con un angolo interno ottuso, triangoli rettangoli, con un angolo interno retto. Un triangolo può avere al più un angolo interno retto od ottuso, dato che la somma degli angoli interni è pari a un angolo piatto. Si definisce altezza di un triangolo il segmento di perpendicolare condotto da un vertice al lato opposto, che dicesi in tal caso base; un triangolo ha quindi tre altezze, le quali concorrono tutte e tre in uno stesso punto detto ortocentro. Le bisettrici degli angoli interni si intersecano in uno stesso punto detto incentro; gli assi dei lati si incontrano in un punto detto circocentro; le mediane, segmenti condotti da un vertice al punto medio del lato opposto, si incontrano in uno stesso punto detto baricentro . Se si considerano due angoli esterni formati da un lato e dai prolungamenti degli altri due e l'angolo interno opposto al lato scelto, le bisettrici di questi tre angoli si incontrano in un punto detto excentro. L'excentro è il centro del cerchio tangente al lato e ai prolungamenti degli altri due, cerchio che si dice exinscritto al triangolo. In un triangolo si costruiscono quindi tre cerchi exinscritti. L'area di un triangolo è uguale al semiprodotto di una base per l'altezza corrispondente, essendo un triangolo equivalente alla metà di un parallelogramma avente stessa base e stessa altezza. Se i tre vertici del triangolo sono punti di un piano cartesiano allora l'area del triangolo è uguale alla metà del determinante la cui prima riga consiste delle ascisse dei vertici, la seconda è composta dalle ordinate e la terza da tutti uno:

Un altro modo di calcolare l'area di un triangolo, in funzione del perimetro, che è la somma dei tre lati, è offerto dalla formula di Erone. Nei triangoli rettangoli, il lato opposto all'angolo retto dicesi ipotenusa; gli altri due lati diconsi cateti. Tra questi lati esiste una relazione, definita dal teorema di Pitagora, che afferma: il quadrato costruito sull'ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui due cateti. In termini numerici, dette a, b, c le misure, rispettivamente, dell'ipotenusa e dei cateti, si ha: a²=b²+c², formula che permette, noti i due cateti, di calcolare l'ipotenusa e, noti un cateto e l'ipotenusa, di calcolare l'altro cateto. Altri teoremi notevoli riguardanti i triangoli rettangoli sono il I e il II teorema di Euclide, che affermano, rispettivamente: in un triangolo rettangolo un cateto è medio proporzionale tra l'ipotenusa e la sua proiezione sull'ipotenusa; in un triangolo rettangolo, l'altezza relativa all'ipotenusa è media proporzionale tra le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa. In termini numerici questi due teoremi si esprimono, rispettivamente, denotando i vertici con A, B, C e con H il piede dell'altezza relativa all'ipotenusa:

Due teoremi si possono esprimere anche in forma geometrica. Due triangoli si dicono uguali se hanno uguali rispettivamente tutti i lati e gli angoli interni. I criteri di uguaglianza dei triangoli affermano che, affinché due triangoli siano uguali, basta che abbiano uguali due lati e l'angolo compreso, ovvero un lato e gli angoli a esso adiacenti, ovvero tutti e tre i lati, ovvero due lati e l'angolo opposto a uno di essi. Due triangoli si dicono simili se hanno gli angoli uguali e i lati omologhi, cioè corrispondenti, in proporzione. I criteri di similitudine dei triangoli affermano che affinché due triangoli siano simili, basta che abbiano gli angoli uguali, ovvero abbiano un angolo uguale e i lati che lo comprendono in proporzione, ovvero abbiano i tre lati fra loro proporzionali.

Geometria: risoluzione dei triangoli

Risolvere un triangolo significa, dati alcuni suoi elementi (lati e angoli), determinare gli altri. Il ramo della matematica che si occupa della risoluzione dei triangoli è la trigonometria.

Geometria: triangolo sferico

Porzione di superficie sferica intercettata da un triedro che ha il vertice nel centro della sfera e i cui lati passano per i vertici del triangolo. Esiste pertanto un'equivalenza nello studio del triangolo sferico e del triedro. I lati di un triangolo sferico si misurano in radianti, attraverso gli angoli al centro corrispondenti, cioè assumendo come unità di misura il raggio della sfera. Gli angoli, a loro volta, si misurano attraverso gli angoli diedri del triedro. La somma degli angoli interni di un triangolo sferico è sempre maggiore di 180º e la differenza è detta eccesso sferico; l'eccesso sferico è proporzionale all'area del triangolo sferico.