similitùdine (geometria)

affinità tale che il rapporto di segmenti corrispondenti sia costante. Due figure che si corrispondono in una similitudine si dicono simili. Le isometrie sono particolari similitudini; esse hanno il rapporto di similitudine uguale a 1. Una similitudine conserva la complanarità, l'allineamento, l'ampiezza degli angoli. In particolare un triangolo ha come immagine attraverso una similitudine un triangolo che è simile a esso: i criteri di similitudine dei triangoli affermano che affinché due triangoli siano simili, basta che abbiano gli angoli uguali, ovvero abbiano un angolo uguale e i lati che lo comprendono in proporzione, ovvero abbiano i tre lati fra loro proporzionali. Se due figure piane si corrispondono attraverso una similitudine di rapporto h, il rapporto tra le loro aree è uguale a h². Se due figure solide si corrispondono attraverso una similitudine di rapporto h, il rapporto tra i loro volumi è uguale a h³. La composizione di due similitudini è una similitudine, la trasformazione inversa di una similitudine di rapporto h è una similitudine avente come rapporto il reciproco di h. L'insieme delle similitudini con l'operazione di composizione è un gruppo non commutativo avente come elemento neutro l'identità. L'insieme delle isometrie è un sottogruppo del gruppo delle similitudini; il gruppo delle similitudini è a sua volta un sottogruppo delle affinità. Una similitudine dicesi diretta o inversa secondo che le orientazioni dei triangoli corrispondentisi (caso piano) o dei tetraedri corrispondentisi (caso solido) siano o non siano concordi. Ogni similitudine si può ottenere come prodotto di un'isometria per un'omotetia diretta. In un sistema di coordinate cartesiane ortogonali, le equazioni di una similitudine piana sono del tipo x´=h(ax+by)+c, y´=h(dx+ey)+f, dove h è il rapporto della similitudine, la matrice

è una matrice ortogonale, cioè la matrice trasposta di A coincide con la matrice inversa di A; da ciò segue che il determinante di A è uguale a 1 o a -1; se il deteminante di A è uguale a 1, la similitudine è diretta; se il determinante di A è uguale a -1, la similitudine è inversa. Analoghe equazioni si hanno nel caso solido. Come caso particolare si hanno le equazioni x´=hx, y´=hy, che rappresentano un'omotetia; se il rapporto di similitudine h è minore di 1 si dice anche che la similitudine schiaccia il piano. Ogni similitudine, che non sia un'isometria, ammette un punto unito, centro di similitudine; se una similitudine ha due punti uniti distinti, essa è l'identità; ogni similitudine spaziale, che non sia un'isometria, ammette anche almeno una retta unita, asse di similitudine, e un piano unito, piano centrale, che sono fra loro ortogonali e incidenti nel centro di similitudine. Per determinare una similitudine nel piano basta dare due triangoli simili, nel senso usuale, perché allora esiste un'unica similitudine che trasforma un triangolo nell'altro; per determinare una similitudine nello spazio basta dare due tetraedri simili, perché allora esiste una e una sola similitudine che trasforma un tetraedro nell'altro.