cérchio (geometria)

Definizione

Figura geometrica che divide il piano in due parti: una costituita da punti esterni, cioè da punti che hanno dal centro distanza maggiore del raggio, e una da punti interni, cioè da punti che hanno distanza dal centro minore del raggio. Il cerchio è una figura convessa, nel senso che se un segmento ha gli estremi appartenenti al cerchio allora anche tutti i suoi punti gli appartengono. La nomenclatura relativa al cerchio è ampia "Per la nomenclatura relativa al cerchio vedi il disegno a pg. 181 del 6° volume." : "Per la figura 1 vedi il lemma del 5° volume." per ragioni di completezza e di razionalità di trattazione è data qui di seguito unitamente a quella relativa alla circonferenza.

Nomenclatura e proprietà

Una porzione qualsiasi di circonferenza è detta arco di circonferenza, o arco di cerchio; qualsiasi segmento che congiunge i singoli punti della circonferenza con il centro del cerchio è detto raggio. È detto corda di un cerchio ogni segmento avente gli estremi sulla circonferenza. Un'importante proprietà delle corde è che in uno stesso cerchio o in cerchi uguali corde uguali sottendono archi uguali e, viceversa, archi uguali corrispondono a corde uguali. La perpendicolare condotta da un arco al punto mediano della corda corrispondente prende il nome di freccia. Ogni corda passante per il centro del cerchio è detta diametro; tutti i diametri di uno stesso cerchio sono uguali, essendo ognuno di essi la somma di due raggi. Si chiama settore circolare una porzione di cerchio compresa tra due raggi; una parte di cerchio compresa tra una corda e uno dei due archi che essa sottende si dice, invece, segmento circolare. Quando la corda è un diametro, il segmento prende il nome di semicerchio e l'arco sotteso si dice semicirconferenza. Dicesi angolo al centro di una circonferenza un angolo che ha il vertice nel centro della circonferenza. In uno stesso cerchio o in cerchi uguali, se due archi sono uguali, sono pure uguali gli angoli al centro corrispondenti e viceversa, se due angoli al centro sono uguali, sono anche uguali gli archi corrispondenti. Dicesi angolo alla circonferenza un angolo che ha il vertice sulla circonferenza e i lati o tutti e due secanti oppure uno secante e uno tangente. Angoli alla circonferenza che insistono sulla circonferenza su uno stesso arco, oppure su archi uguali, sono uguali "Per gli angoli alla circonferenza vedi il disegno a pg. 181 del 6° volume." "Per la figura 2a vedi il lemma del 5° volume." e uguali a metà dell'angolo al centro corrispondente "Per l’angolo al centro vedi il disegno a pg. 181 del 6° volume." . "Per la figura 2b vedi il lemma del 5° volume." Ogni angolo inscritto in una semicirconferenza, che ha cioè il vertice nella circonferenza e i lati passanti per gli estremi di un diametro, è retto. Un poligono si dice inscritto in una circonferenza quando i suoi vertici stanno sulla circonferenza; si dice invece circoscritto a una circonferenza quando i lati sono tangenti alla circonferenza "Per il poligono inscritto e circoscritto vedi il disegno a pg. 181 del 6° volume." ; "Per la figura 3 vedi il lemma del 5° volume." tutti i poligoni regolari e tutti i triangoli possono essere inscritti in una circonferenza e circoscritti a una circonferenza. Ogni quadrangolo con due angoli supplementari può essere inscritto in una circonferenza. Il problema di inscrivere un poligono regolare in un cerchio dato si trasforma evidentemente in quello di dividere una circonferenza in n parti uguali (vedi ciclotomia). Per tutti i triangoli è poi possibile tracciare una circonferenza, detta circonferenza di Eulero o dei 9 punti, passante per i punti medi dei lati, per i piedi delle altezze e per i punti medi dei segmenti compresi tra il punto di incontro delle altezze (ortocentro) e i vertici corrispondenti del triangolo "Per la circonferenza dei nove punti vedi il disegno a pg. 182 del 6° volume." . "Per la figura 4 vedi il lemma del 5° volume." Data una retta e una circonferenza, a seconda che la distanza della retta dal centro della circonferenza sia maggiore, uguale, minore del raggio, la retta stessa avrà nessuno, uno, due punti in comune con la circonferenza. Nei rispettivi casi, tale retta si dirà esterna, tangente, secante rispetto alla circonferenza "Per le posizioni di una retta rispetto a una circonferenza vedi il disegno a pg. 182 del 6° volume." . "Per la figura 5 vedi il lemma del 5° volume." Il punto che la tangente ha in comune con la circonferenza si chiama punto di contatto. Ogni tangente a una circonferenza è perpendicolare al raggio che ha un estremo nel punto di contatto. Due circonferenze in un piano hanno due punti di intersezione "Per le circonferenze secanti vedi il disegno a pg. 182 del 6° volume." "Per la figura 6a vedi il lemma del 5° volume." se la distanza dei rispettivi centri è minore della somma e maggiore della differenza dei raggi; si toccano (esternamente o internamente) in un punto se la detta distanza uguaglia la somma "Per le circonferenze tangenti esterne vedi il disegno a pg. 182 del 6° volume." "Per la figura 6b vedi il lemma del 5° volume." o, rispettivamente, la differenza "Per le circonferenze tangenti interne vedi il disegno a pg. 182 del 6° volume." "Per la figura 6c vedi il lemma del 5° volume." dei raggi; infine, non hanno alcun punto in comune (restando esterne o, rispettivamente, interne l'una all'altra) se la distanza dei rispettivi centri è maggiore della somma. "Per le circonferenze mutuamente esterne vedi il disegno a pg. 182 del 6° volume." "Per la figura 6d vedi il lemma del 5° volume." o minore della differenza. "Per le circonferenze interne una all’altra vedi il disegno a pg. 182 del 6° volume." "Per la figura 6e vedi il lemma del 5° volume." dei raggi. Le due circonferenze si dicono secanti, tangenti esternamente o internamente, mutuamente esterne, una interna all'altra. Data una circonferenza e un punto P sul suo piano, se si considera una qualsiasi retta passante per P, cioè appartenente al fascio di rette di centro P, che tagli la circonferenza in due punti A e B (anche coincidenti nel caso delle due tangenti), si dimostra che il prodotto delle misure dei segmenti PA e PB è costante al variare della retta considerata. Questo prodotto costante è detto potenza del punto rispetto alla circonferenza "Per la potenza di un punto rispetto a una circonferenza vedi il disegno a pg. 182 del 6° volume." . "Per la figura 7 vedi il lemma del 5° volume." Date poi due circonferenze comunque poste nel piano "Per gli assi radicali di due circonferenze vedi il disegno a pg. 182 del 6° volume." , "Per la figura 8 vedi il lemma del 5° volume." si trova che il luogo geometrico dei punti aventi la stessa potenza rispetto alle due circonferenze è una retta, detta asse radicale delle due circonferenze. L'insieme di tutte le circonferenze del piano passanti per i due punti comuni alle due circonferenze è detto fascio di circonferenze; i due punti sono detti punti base del fascio. Se le circonferenze sono tangenti, l'asse radicale è la tangente comune e i due punti base coincidono; se le due circonferenze non hanno punti comuni i due punti base non sono reali. In corrispondenza ai tre casi illustrati si hanno fasci ellittici, parabolici e iperbolici "Per i fasci di circonferenze vedi i disegni a pg. 182 del 6° volume." . "Per la figura 9 vedi il lemma del 5° volume." In conseguenza della definizione di potenza di un punto rispetto a una circonferenza, si ha che i punti dell'asse radicale godono della proprietà caratteristica che i segmenti di tangente da essi condotti alle circonferenze sono uguali. Si ha inoltre che l'asse radicale è sempre perpendicolare all'asse dei centri, cioè alla retta congiungente i centri delle circonferenze del fascio considerato. Date tre circonferenze di uno stesso piano e non appartenenti a uno stesso fascio esiste uno e un solo punto che ha la stessa potenza rispetto alle tre circonferenze: il punto di incontro dei tre assi radicali. Le tre circonferenze identificano una rete di circonferenze e il punto è detto centro radicale della rete "Per il centro radicale di una rete di circonferenze vedi il disegno a pg. 182 del 6° volume." . "Per la figura 10 vedi il lemma del 5° volume."

Le misure sul cerchio

Indicando con π il rapporto, costante, tra circonferenza e diametro, si trova che l'area del cerchio di raggio r è πr², mentre la lunghezza della circonferenza di raggio r è 2πr. Una proprietà caratteristica della circonferenza è quella di racchiudere la superficie di area maggiore fra tutte quelle racchiuse da curve chiuse di uguale lunghezza (proprietà isoperimetrica). In base alla teoria dell'equivalenza di figure geometriche si trova che il cerchio ha la stessa area d'un triangolo avente per base la circonferenza rettificata e per altezza il raggio. Se si sapesse costruire con riga e compasso un segmento della lunghezza della circonferenza, si potrebbe poi facilmente trasformare il detto triangolo in un quadrato, risolvendo così il problema della quadraturadel cerchio; si è dimostrato però che tale problema non è risolubile con riga e compasso. Le aree del settore circolare e del segmento circolare relativi a un angolo al centro di ampiezza α si ricavano dall'area del cerchio con operazioni elementari e risultano: area settore= (che, per α=2π, diventa l'area del cerchio); area segmento= (che, per α=2π, diventa ancora uguale all'area del cerchio). Queste formule presuppongono che α sia misurato in radianti; se α è misurato in gradi sessagesimali occorre effettuare prima la trasformazione corrispondente.

L'equazione della circonferenza

Se nel piano si prendono come assi cartesiani due diametri ortogonali di una circonferenza, l'equazione cartesiana di questa è x²+y²=r², dove r indica il raggio. Rispetto ad assi cartesiani ortogonali qualunque, l'equazione è

che differisce dall'equazione di 2º grado completa in x e y per la mancanza del termine rettangolare xy e per l'uguaglianza dei coefficienti di x² e y². La circonferenza, pertanto, è una curva algebrica del 2º ordine appartenente alla famiglia delle coniche. Se si cercano le intersezioni di una qualsiasi circonferenza con la retta impropria del piano, si trovano due punti immaginari coniugati, detti punti ciclici del piano; tra tutte le coniche solo le circonferenze passano per questi due punti. Il luogo dei punti ciclici dello spazio, che si trova facendo variare in tutti i modi possibili il piano della circonferenza nello spazio, è detto cerchio assoluto, o circolo assoluto, o circonferenza assoluta, o, semplicemente, assoluto. L'assoluto può essere definito anche come l'intersezione di una sfera con il piano improprio dello spazio. § In un'ellisse, cerchio principale e cerchio minore sono le circonferenze con centro nel centro dell'ellisse e raggio uguale, rispettivamente, al semiasse maggiore e al semiasse minore dell'ellisse; per una curva qualsiasi, cerchio osculatore in un punto è la circonferenza che ha per centro e per raggio centro e raggio di curvatura della curva in quel punto. Più rigorosamente, il cerchio osculatore in un punto P₀ è la posizione limite assunta dal cerchio passante per P₀, P, Q quando i punti P, Q, muovendosi sulla curva, tendono a P₀.