curva

Lessico

Sf. [sec. XVII; da curvo].

1) Nel linguaggio comune, una linea che non sia retta. In particolare, nel linguaggio scientifico e tecnico, rappresentazione grafica di grandezze, fenomeni, ecc.: A) in astrofisica, curva di luce indica un diagramma fotometrico di importanza fondamentale nei fenomeni a carattere temporaneo o periodico che alterino la luminosità dell'oggetto celeste. Indispensabile si rivela la curva di luce nello studio delle stelle variabili, in special modo per le variabili a eclisse, delle quali consente di ricavare informazioni sui periodi di orbitazione, dimensioni, inclinazione del piano orbitale, ecc. Significativa è anche la curva di luce mostrata dalle stelle novae, specie se in associazione con il rilevamento spettroscopico; le curve di luce delle supernovae sono sufficienti a farle catalogare in due tipologie fondamentali. L'utilità delle curve di luce risulta evidente anche nello studio telescopico dei pianetini e di molti satelliti per i quali le fluttuazioni fotometriche verificate si connettono alla loro particolare geometria, al loro stato di rotazione, alla natura delle superfici, ecc. L'andamento fotometrico di alcuni parossismi che si verificano sovente in alcune stelle peculiari (novoidi, novae ricorrenti, stelle a brillamenti) – nonché sul Sole medesimo (intensificazioni ed eruzioni cromosferiche) – costituisce, anche in tali occasioni, materiale significativo per l'interpretazione fisica dei fenomeni. B) Curva di isteresi, curva di taratura, ecc., in fisica, la rappresentazione grafica di un fenomeno o di una funzione che leghi tra loro le grandezze in esame. C) Curva di distribuzione, rappresentazione grafica di una distribuzione statistica; curva di frequenza, rappresentazione grafica di una distribuzione di frequenza. D) Curva di Milanković; curva clinografica, unisce sul piano cartesiano i valori delle pendenze medie di una data regione; curva ipsografica o ipsometrica, rappresenta, sul piano cartesiano, la curva di frequenza delle altitudini di una data regione in funzione dell'area da esse occupata. E) Curva delle pressioni, curva funicolare, nella scienza delle costruzioni. F) Curva di sopravvivenza, in demografia indica una delle funzioni biometriche ed è caratteristica di ogni tavola di mortalità della popolazione. Generalmente indicata con l_x, dal termine inglese living, indica, in un riferimento cartesiano, coloro che sopravvivono ai vari compleanni x (che designa, dunque, un'età esatta), provenendo da una generazione (usualmente fittizia) pari a 10⁵, e detta radice della tavola. G) Curva caratteristica di un'emulsione, o curva sensitometrica, nella tecnica fotocinematografica, il diagramma che riporta in ascissa il logaritmo dell'esposizione subita dal materiale sensibile e in ordinata la corrispondente densità, ottenuta in seguito allo sviluppo. È sempre costituita da un tratto rettilineo centrale raccordato con due tratti curvi. L'inclinazione del tratto rettilineo è detta gamma o contrasto e dipende dal tipo di emulsione sensibile, dalle caratteristiche, dalla durata, dalla temperatura e dall'agitazione dello sviluppo. Spesso nei materiali moderni la zona rettilinea centrale ha una curvatura molto dolce o si spezza in due tratti rettilinei con diversa inclinazione (emulsioni anortofotiche). La curva caratteristica consente di determinare, oltre al contrasto, la sensibilità, la gamma di toni riproducibili e la latitudine di posa di una determinata emulsione (vedi anche sensitometria).

2) Andamento diverso dal rettilineo, sia planimetricamente sia altimetricamente, di un tracciato stradale o ferroviario: curva pericolosa; la macchina ha sbandato in curva; prendere una curva, affrontarla con un veicolo in corsa. Fig., popolare, rotondità del seno e dei fianchi nel corpo femminile: è una donna tutta curve. In particolare, nel linguaggio sportivo, la parte della pista (di atletica, ciclistica, di un ippodromo) o del percorso che disegna un arco; in taluni casi (ciclismo, sport motoristici) può essere sopraelevata per consentire velocità maggiori. Nel pattinaggio a rotelle, la prima figura obbligatoria di scuola.

3) In topografia, curva di livello è una linea continua che unisce tutti i punti del terreno che hanno la stessa altezza sul livello medio del mare. Le curve di livello, dette anche isoipse, si ottengono immaginando di intersecare la superficie topografica mediante piani paralleli al livello medio del mare ed equidistanti fra di loro. Tale equidistanza è generalmente pari a un millesimo della scala della carta. In questo caso si parla di equidistanza millimetrica (per esempio, in una carta a scala 1 :.25.000 le curve di livello hanno l'equidistanza di 25 m). Questa regola è molto spesso teorica in quanto, se si vuole rappresentare l'altimetria con un maggiore dettaglio, occorre avere un'equidistanza fra le curve di livello inferiore a quella millimetrica. Lo stesso problema si pone nelle zone di terreno pianeggiante dove, anche in carte a scala 1 :.25.000, si può avere un'equidistanza di 5 o 10 m. L'insieme delle curve di livello proiettato sul piano di riferimento fornisce una rappresentazione altimetrica del terreno che è tra le più usate in topografia e cartografia, in quanto è il sistema più idoneo per rappresentare geometricamente la superficie terrestre. Altrettanto dicasi per la rappresentazione dei fondali marini e lacustri. In tal caso le curve sono dette batimetriche o isobate.

Matematica

Generalmente la curva è sinonimo di linea, nel senso intuitivo della parola. Una curva è detta aperta quando, partendo da un suo punto e percorrendola sempre in uno stesso verso, non è possibile ritornare al punto di partenza; "Per la figura 1 (A e B) vedi il lemma del 7° volume." è detta chiusa in caso contrario. Se P è un punto di una curva è possibile che da P escano più parti della curva; ognuna di tali parti dicesi ramo della curva. Una curva si dice piana quando è contenuta per intero in un piano. Se in tale piano si introduce un sistema di coordinate cartesiane "La figura 1 (A e B) è a pag. 500 del 7° volume." (x, y), una curva può essere rappresentata da un'equazione del tipo f(x, y)=0, detta equazione cartesiana implicita della curva; tale equazione è soddisfatta da tutte e sole le coordinate dei punti della curva. Per esempio, la curva, di equazione cartesiana implicita x+y-1=0 è una retta, la curva di equazione y-x²=0 è una parabola, la curva di equazione x²+y²-1=0 è la circonferenza con centro nel punto (0, 0) e raggio uguale a 1. Una curva può anche essere rappresentata da un'equazione del tipo y=φ(x) (oppure x=ψ (y)) detta equazione cartesiana esplicita della curva. Ogni curva dotata di equazione cartesiana esplicita è ovviamente dotata di equazione cartesiana implicita. Non tutte le curve dotate di equazione cartesiana implicita hanno equazioni cartesiane esplicite. Per esempio, la retta e la parabola viste sopra hanno equazione cartesiana esplicita mentre la circonferenza non la possiede. Una curva piana si rappresenta anche con equazioni del tipo

che diconsi equazioni parametriche esplicite della curva nel parametro t. È spesso possibile passare dall'una all'altra rappresentazione di una stessa curva. Risolvendo, per esempio, l'equazione implicita rispetto a y, il che è possibile se la derivata parziale f_y di f(x, y) è diversa da zero, si trova y=y(x) equivalente, d'altra parte, alle seguenti equazioni parametriche

Di solito il passaggio dall'una all'altra rappresentazione non è semplice e per ogni caso bisogna trovare il metodo più opportuno. Per esempio la circonferenza di equazione cartesiana implicita x²+y²-1=0 ha equazioni parametriche esplicite date da:

dicono equazioni parametriche implicite di una curva piana equazioni del tipo

Sia f(x, y)=0, ovvero y=y(x), l'equazione che rappresenta una curva piana in coordinate cartesiane ortogonali: dicesi tangente alla curva "Per la figura 2 vedi il lemma del 7° volume." "La figura 2 è a pag. 500 del 7° volume." in un punto P₀(x₀, y₀) della curva il limite della retta PP₀ al tendere di P a P₀ lungo la curva. Non sempre una curva è dotata di tangente in un suo punto P₀. Per esempio, la curva di equazione y-|x|=0 non è dotata di tangente nel punto (0, 0). Una curva di equazione f(x, y)=0, passante per un punto P₀(x₀, y₀), tale che le derivate parziali f_xf_y rispetto a x e y della funzione f(x, y) esistono e non sono entrambe nulle in P₀, si dice regolare in P₀ ed è dotata di tangente in P₀. L'equazione della tangente è

dove con f_x, f_y si indicano rispettivamente le derivate parziali rispetto ad x e ad y delle funzioni. Se la curva ha equazione esplicita y=φ(x) con la funzione φ(x) derivabile in x₀, essa è anche dotata di tangente nel punto P₀(x₀, φ(x₀)). L'equazione della tangente è y-y₀=φ(x₀) (x-x₀). Siano y=φ(x) e y=ψ(x) equazioni rappresentanti due curve passanti per uno stesso punto P. Se le due curve hanno in P la stessa tangente "La figura 3A è a pag. 500 del 7° volume." , "Per la figura 3A vedi il lemma del 7° volume." si dice che esse si toccano o sono tangenti in P. Precisamente, si dice che si toccano con un contatto di ordine k se le due funzioni e le loro derivate fino all'ordine k coincidono in P, mentre sono diverse le derivate d'ordine k+1. Nel caso in cui una delle due curve è la tangente all'altra in un punto, se il contatto è di ordine 1, la tangente si dice ordinaria "La figura 3B è a pag. 500 del 7° volume." ; "Per la figura 3B vedi il lemma del 7° volume." se il contatto è di ordine uguale a 2 o maggiore, la tangente si dice inflessionale e il punto di contatto punto di flesso "La figura 3C è a pag. 500 del 7° volume." . "Per la figura 3C vedi il lemma del 7° volume." Se il contatto è esattamente di ordine 2 si parla di flesso ordinario o di prima specie; se è di ordine k>2 si parla di flesso di specie k-1. Un punto di una curva si dice singolare quando in essa è indeterminata la tangente. Dicesi normale a una curva in un suo punto P₀(x₀, y₀) la retta perpendicolare per P₀ alla tangente. L'equazione della normale è x-x₀+y´(x₀)(y-y₀)=0. Asintoto di una curva piana è la posizione limite di una tangente il cui punto di contatto tenda all'infinito. "Per la figura 4 vedi il lemma del 7° volume." "La figura 4 è a pag. 500 del 7° volume." Il cerchio osculatore nel punto P₀ di una curva piana è la posizione limite del cerchio passante per P₀, P, Q quando P e Q tendono a P₀ muovendosi lungo la curva; il raggio di curvatura e la curvatura della curva in un punto sono, rispettivamente, il suo raggio e l'inverso di questo (vedi curvatura). Dicesi evoluta di una curva "Per la figura 5 vedi il lemma del 7° volume." il luogo dei suoi centri di curvatura, cioè dei centri dei cerchi osculatori. Si dice, poi, parabola osculatrice d'ordine n a una curva, rappresentata dall'equazione y=y(x), la curva rappresentata dai primi n+1 termini dello sviluppo in serie di Taylor della y=y(x) (vedi anche Taylor, Brook). Il nome deriva dal fatto che, per n=2, detta curva si riduce a un'ordinaria parabola. La parabola osculatrice è detta anche approssimante in quanto, nell'intorno di un punto della curva, essa la approssima meglio di qualsiasi altra. Una curva si dice algebrica se la sua equazione cartesiana f(x, y)=0 si ottiene uguagliando a zero un polinomio. Una curva è detta razionale quando può essere rappresentata con equazioni parametriche in cui x(t) e y(t) siano funzioni razionali del parametro t. Le rette, le coniche e tutte le curve rappresentabili parametricamente come sopra detto sono esempi di curve razionali. È evidente che una curva razionale è algebrica perché eliminando il parametro si ottiene un'equazione algebrica, ma non vale sempre l'inverso. D'ordinario le curve algebriche vengono studiate nel piano proiettivo complesso: in coordinate omogenee una curva algebrica piana si rappresenta uguagliando a zero un polinomio omogeneo, o, come anche si dice, una forma. Il grado del polinomio, in coordinate cartesiane, da cui si ottiene la curva si dice ordine della curva. Le curve del primo ordine sono le rette, quelle del secondo ordine le coniche, quelle del terzo e quarto ordine, rispettivamente, le cubiche e le quartiche. Una curva di ordine n può spezzarsi in due o più curve, la somma degli ordini delle quali è n; così, n rette prese insieme sono una curva di ordine n. Una curva che non può spezzarsi in altre si dice irriducibile. Nel piano proiettivo complesso, una curva algebrica di ordine n ha esattamente n punti in comune con una retta generica (che non faccia cioè parte della curva), purché questi punti vengano contati con la dovuta molteplicità di intersezione. Non è detto, cioè, che tutte le intersezioni siano semplici; è possibile che un punto assorba, come si suol dire, più di un'intersezione. Si consideri, per esempio, un punto P di una curva algebrica; al variare di una retta r nel fascio di centro P, resta determinato l'insieme delle molteplicità d'intersezione delle rette del fascio con la curva nel punto P: il minimo di questo insieme si chiama molteplicità del punto P. Così, un punto si dice semplice quando ha molteplicità 1; doppio quando ha molteplicità 2; in generale, si dice s-plo (o multiplo di molteplicità s) quando ha molteplicità s (numero intero ≥1). Sia P un punto doppio di una curva algebrica piana di ordine n. Facendo variare una retta r nel fascio di centro P, vi sono due posizioni di r, eventualmente coincidenti, per le quali uno (almeno) dei restanti n-2 punti di intersezione viene assorbito in P. Le rette che hanno queste due particolari posizioni si dicono tangenti principali in P. Se le due tangenti principali sono distinte, P si dice un punto doppio ordinario o nodo "Le figure 5A, B,C, D, E, F, G sono a pag. 501 del 7° volume." ; se coincidono, il punto doppio è, in generale, una cuspide o punto di regresso; se infine sono immaginarie coniugate il punto doppio si dice isolato. La tangente nel punto di cuspide si dice tangente cuspidale. Si possono presentare due tipi di cuspidi. Una cuspide si dice di prima specie, o ordinaria, se vicino alla cuspide, i punti della curva giacciono in ambedue i semipiani delimitati dalla tangente cuspidale. La cuspide si dice di seconda specie, o a becco, se i punti giacciono in un solo semipiano. Un punto doppio P si dice tacnodo se in P la curva è costituita da due rami aventi la stessa tangente. Un punto P si dice oscnodo se in P la curva si compone di due rami aventi un contatto del secondo ordine. Se una delle tangenti principali in un nodo P ha molteplicità d'intersezione almeno 4 con la curva, allora almeno tre intersezioni sono assorbite dal ramo che tocca tale tangente principale e un'intersezione è assorbita dall'altro ramo: il punto P si dice flecnodo. Se lo stesso accade per le due tangenti principali, P si dice biflecnodo. Dicesi cappio di una curva algebrica piana un arco della curva privo di punti singolari e avente i due estremi coincidenti in un nodo. Dicesi inviluppo di una curva "Per la figura 7 vedi il lemma del 7° volume." algebrica piana il luogo delle rette tangenti ai punti della curva. In coordinate plückeriane di retta l'inviluppo è rappresentato da un'equazione omogenea. Dicesi classe di una curva algebrica l'ordine del suo inviluppo; geometricamente la classe di una curva algebrica uguaglia il numero delle tangenti che si possono condurre alla curva da un punto generico del piano. Dicesi genere di una curva algebrica irriducibile, con esattamente d punti doppi (nodi o cuspidi) e senza altri punti multipli, il numero intero

;

esso è la differenza tra il massimo numero di punti doppi che una curva di ordine n può avere restando irriducibile e il numero dei punti doppi che la curva in oggetto ha di fatto (il genere delle curve razionali è uguale a zero). L'ordine, la classe, il genere si dicono anche caratteri plückeriani di una curva algebrica piana. Le curve algebriche piane vengono generalmente classificate secondo l'ordine n. Le curve del 1º ordine (n=1) sono le rette. Le curve del 2º ordine (n=2) sono le coniche, cioè l'ellisse, la parabola, l'iperbole; la circonferenza è un caso particolare di ellisse. Tra le curve del 3º ordine (n=3), dette cubiche, figurano la parabola cubica ordinaria, di equazione y=x³; le parabole cubiche di Newton; la cissoide di Diocle, nota per la sua applicazione alla risoluzione del problema della duplicazione del cubo; il folium di Cartesio; la curva cubica hessiana di una data curva C, definita come il luogo dei punti doppi delle polari di C. La sua equazione si ottiene uguagliando a zero il determinante del 3º ordine formato dalle derivate parziali seconde dell'equazione della curva. Tra le curve del 4º ordine (n=4), dette quartiche, figurano: la concoide della retta, o di Nicomede, importante per le applicazioni alla risoluzione del problema della trisezione dell'angolo; la lumaca di Pascal, la curva cassiniana, studiata da Cassini nel sec. XVII, che pensava potesse fornire le orbite dei pianeti attorno al Sole; la lemniscata di Bernoulli, caso particolare della precedente. Le curve del 5º ordine (n=5) sono dette quintiche e quelle del 6º (n=6) sono dette sestiche. Le curve non algebriche sono dette curve trascendenti. Esse ammettono una rappresentazione parametrica, con x(t), y(t) funzioni trascendenti fra le quali non esiste nessuna relazione algebrica, o una rappresentazione del tipo y=f(x), con f(x) funzione trascendente. Sono, per esempio, curve trascendenti le curve rappresentative delle funzioni trigonometriche; le curve rappresentative del seno iperbolico e del coseno iperbolico (quest'ultima è detta anche curva catenaria); la curva di Gauss, importante nel calcolo delle probabilità; la quadratrice, strettamente collegata al problema della quadratura del cerchio; la cicloide, l'epicicloide e l'ipocicloide. Altre curve trascendenti sono le spirali, rappresentate solitamente in coordinate polari, le più famose delle quali sono: la spirale di Archimede, la spirale iperbolica, la spirale logaritmica, la spirale di Galileo, che interviene in numerosi problemi di meccanica. Importanti, infine, per molte applicazioni a problemi di fisica, sono la trattrice, le curve di Lissajous e la spirale di Cornu, o clotoide. Una curva si dice sghemba, o gobba, se non è contenuta in un piano dello spazio. Indicata con s l'ascissa curvilinea, cioè la lunghezza del tratto di curva compresa fra un punto fisso e un punto generico della curva, la curva può essere rappresentata, in coordinate cartesiane, dalle seguenti equazioni parametriche: x=x(s), y=y(s), z=z(s). In forma implicita, una curva gobba è rappresentata dalle equazioni

Esse rappresentano la curva intersezione completa delle due superfici algebriche di espressioni f=0 e g=0; esistono però anche curve algebriche sghembe che sono intersezioni incomplete di due superfici algebriche. Dicesi tangente a una curva sghemba nel punto P la posizione limite della retta PQ al tendere di Q a P lungo la curva. Dicesi piano osculatore in P alla curva la posizione limite del piano contenente la tangente in P e un altro punto Q della curva al tendere di Q a P lungo la curva. Dicesi cerchio osculatore in P alla curva la posizione limite del cerchio, contenuto nel piano osculatore, passante per i punti P, Q, R al tendere di Q ed R a P lungo la curva. La normale principale in P alla curva è la perpendicolare alla tangente in P nel piano osculatore. La binormale alla curva è la perpendicolare al piano osculatore in P. Il piano normale è il piano perpendicolare alla tangente; il piano rettificante è il piano perpendicolare alla normale principale. Il triedro principale è quello costituito da tangente, da normale principale e da binormale (vedi geometria differenziale). Per le curvature di una curva sghemba, vedi curvatura. Nella classificazione secondo l'ordine delle curve algebriche gobbe, per n=3 si hanno le cubiche gobbe, che sono l'ulteriore intersezione di due quadriche che hanno una generatrice in comune; per n=4 si hanno le quartiche gobbe di prima e di seconda specie: una quartica è di prima specie quando è l'intersezione di due quadriche, cioè la base di un fascio di quadriche; è di seconda specie quando è l'intersezione di una quadrica con una superficie cubica passante per due generatrici sghembe della quadrica. Esempi famosi di quartiche di prima specie sono la finestra di Viviani, ottenuta dall'intersezione di una sfera con un cilindro rotondo avente il diametro uguale al raggio della sfera e passante per il centro della sfera, e la curva di Archita, ottenuta dall'intersezione di un cilindro e di un cono quadrici. Tra le curve trascendenti sghembe, anch'esse rappresentabili in forma parametrica

dove x(t), y(t), z(t) sono funzioni trascendenti prive di legami algebrici fra loro, oppure per mezzo delle loro equazioni implicite, la più nota è l'elica cilindrica, cioè la curva descritta da un punto che si muove di moto uniforme su una retta g mentre questa ruota uniformemente attorno a una retta fissa a essa parallela. L'elica cilindrica è un caso particolare delle curve di Bertrand.

Scienza delle costruzioni

"Per le fasi di determinazione delle curve in un percorso stradale vedi figura al lemma del 7° volume." Problemi fondamentali relativi al tracciamento di una curva sono quello della determinazione del raggio di curvatura, che è in genere funzione della velocità di progetto (cioè della velocità massima ammissibile, in condizioni di sicurezza, per quel determinato tipo di strada o ferrovia), e quello del raccordo ai tratti rettilinei. Tale raccordo si realizza mediante curve con raggio variabile da zero al valore finale (clotoidi, lemniscate, spirali di Searles, archi parabolici, ecc.). Nella costruzione di strade quando si abbiano curve vicine tra loro si tende a realizzare una successione di curve ad andamento variabile, direttamente collegate tra loro senza l'interposizione di tratti rettilinei al fine di eliminare le discontinuità. § Nelle linee ferroviarie le curve assumono una particolare importanza, in quanto il diverso raggio di curvatura implica delle modificazioni per quanto riguarda lo scartamento e la posa dei binari. Nelle curve con un raggio inferiore a 485 m lo scartamento normale in rettifilo non è più sufficiente a consentire l'inserimento dei veicoli nella curva perché, essendo le ruote solidali con i rispettivi assi di rotazione e il telaio rigido, il bordino che sporge oltre il punto geometrico di contatto delle ruote con il piano di rotolamento viene spinto in modo anormale contro il fungo della rotaia, contrastando l'avanzamento del veicolo. Il passaggio dallo scartamento normale in rettifilo a quello che compete al raggio della curva avviene per gradi mantenendo fisse le rotaie esterne e spostando quelle interne verso il centro della curva a partire dall'inizio di questa in ragione di 1 mm per metro, per velocità massime uguali o superiori a 70 km/h, di 2 mm per metro per velocità inferiori a 70 km/h, di 3 mm per metro per le curve dei binari secondari di stazione. La necessità di mantenere velocità elevate anche in curva impone la sopraelevazione della rotaia esterna per compensare l'effetto della forza centrifuga cui sono soggetti i veicoli in curva. L'altezza della sopraelevazione dipende, supponendo costante la forza di gravità, dalla distanza fra le rotaie: è direttamente proporzionale al quadrato della velocità del convoglio e inversamente proporzionale al raggio della curva. Tuttavia occorre che la sopraelevazione dia una compensazione solo parziale e non totale in quanto su uno stesso binario transitano treni a velocità diverse e a volte taluni convogli sono obbligati a fermarsi. Una sopraelevazione eccessiva quindi, oltre al fastidio per i viaggiatori, darebbe luogo a sollecitazioni anormali sulla rotaia che potrebbero causare anche il ribaltamento. Il limite massimo della sopraelevazione è fissato generalmente in 22 cm, mentre in Italia le FS lo hanno fissato in 16 cm. Per evitare i moti irregolari di serpeggio e rullio che sorgevano in passato sui veicoli nel brusco passaggio dal rettifilo alla curva, si è ovviato, nei binari moderni, con i raccordi parabolici, nei quali la variazione di curvatura è graduale e progressiva.