curvatura

Lessico

sf. [sec. XVI; da curvare].

1) Il curvare, il piegare a forma di arco.

2) L'esser curvo, profilo curvo: la curvatura di una volta, di un arco. Per la matematica. Con accezioni specifiche: A) in anatomia, termine con cui si indica una curva, una ripiegatura, un margine arcuato di un organo o sua parte: curvatura dell'encefalo, in embriologia, le numerose flessioni e ripiegature che il cervello presenta durante il suo sviluppo, nel primo periodo di vita endouterina, in conseguenza della limitatezza dello spazio cranico in cui è contenuto; curvature gastriche o grande e piccola curvatura, le pareti arcuate a sinistra e a destra dello stomaco; curvatura prepubica e sottopubica, le due porzioni dell'uretra maschile, caratterizzate da andamento arcuato; curvature vertebrali, le curvature fisiologiche del rachide. B) In astrofisica, curvatura gravitazionale dello spazio proprietà geometrica del cronotopo che deriva dal principio di equivalenza di Mach affermante l'identità fra i concetti di massa inerziale e massa gravitazionale. C) In ottica, curvatura del campo, tipo di aberrazione ottica.

Astrofisica

In relatività generale il principio di equivalenza conduce alle seguenti implicazioni: il campo gravitazionale connesso a ogni corpo materiale rende non inerziale il riferimento fisico dell'osservatore poiché vi suscita delle accelerazioni. In un riferimento siffatto le proprietà invarianti delle leggi fisiche vanno perdute e, con esse, anche quelle riferite agli intervalli nella metrica dello spazio e del tempo. Ciò equivale ad ammettere che la geometria del cronotopo si deforma in presenza delle masse gravitazionali, discostandosi di conseguenza dalla geometria euclidea; l'entità di questo scostamento (relativistico) è ciò che definisce la curvatura gravitazionale dello spazio. Il raggio r della sua parte spaziale, misurato alla distanza d da una massa M è r=[d³/R_s]^1/2 ove R_s=2GM/c² definisce il raggio gravitazionale di Schwartzschild (G, costante gravitazionale; c, velocità della luce). L'analogo effetto sulla dimensione temporale consiste nella dilatazione del corso del tempo secondo l'espressione Δt/t=GM/dc². Prendendo a riferimento il Sole, è immediato dedurre che la costante gravitazionale dello spazio in prossimità della sua superficie ha r=330×10⁶ km e che il rallentamento relativo del tempo è di 2×10^-6. È a causa di quest'ultimo effetto che l'intero spettro luminoso dell'astro risulta spostato di circa 0010 Å verso il rosso (red-shift relativistico o “effetto Einstein”).

Matematica

"Per la definizione della curvatura di una curva piana vedi grafici A e B al lemma del 7° volume." "Per la definizione della curvatura di una curva piana vedi i grafici A e B a pag. 502 del 7° volume." Dato un arco di curva piana regolare di classe k≥2, siano P e P´ due suoi punti e t, t´ le tangenti (orientate concordemente) in P e P´, rispettivamente; indicando con ϑ l'angolo formato da t e t´ e con l la lunghezza dell'arco di curva PP´ (figura B), si definisce curvatura di C in P il limite

Se si pensa la curva C descritta da un punto mobile con velocità (scalare) unitaria, si può dire, intuitivamente, che la curvatura di una curva in un punto P misura la velocità di deviazione angolare della tangente alla curva nel punto P. Le linee a curvatura nulla in ogni punto sono le rette. Se y=f(x) è l'equazione cartesiana della curva, la curvatura è data da:

dove f´ e f‟ indicano la derivata prima e la derivata seconda di f calcolate nel punto P. Se la curva ha equazioni parametriche

con s ascissa curvilinea sulla curva, la curvatura è espressa da

dove le derivate seconde x‟ e y‟ sono calcolate nel punto P. Se c≠0, il numero r=1/c viene detto raggio di curvatura della curva nel punto P. Tale definizione è giustificata dal fatto che r è uguale al raggio della circonferenza osculatrice della curva in P. Il centro di tale circonferenza è detto centro di curvatura. Per un arco di curva sghemba regolare di classe k≥3 si possono definire due diverse curvature dette, rispettivamente, flessione, o prima curvatura, e torsione, o seconda curvatura. La flessione misura quanto la curva si discosta dall'essere rettilinea ed è definita come nel caso piano: se la curva ha equazioni parametriche

s ascissa curvilinea sulla curva, la flessione, c, è espressa da

torsione misura, invece, quanto la curva si discosta dall'essere piana. Per definire la torsione, si considera il piano limite, detto piano osculatore, passante per la tangente in P alla curva e per un altro punto della curva quando questo tende a P. La torsione in P è il limite del rapporto tra l'angolo Δφ formato tra i piani osculatori per P e per un punto a esso vicino e l'arco di curva Δs compreso tra i due punti, quando tale arco tende a zero: T=lim Δφ/Δs. L'espressione della torsione è

in cui gli elementi del determinante sono le derivate prime, seconde e terze di x, y e z. Le curve a flessione nulla sono rette; le curve a torsione nulla sono curve piane. Per una superficie si considerano i piani passanti per la normale alla superficie nel punto P considerato: tali piani tagliano sulla superficie delle curve, dette sezioni normali; le sezioni normali a cui compete la curvatura massima e la curvatura minima sono dette sezioni principali e risultano tra loro perpendicolari. La curvatura della superficie nel punto P è espressa in funzione delle sezioni principali in tale punto: è detta curvatura totale, o curvatura di Gauss, l'espressione C_G=c₁∤c₂ introdotta da Gauss nel 1828; è detta curvatura media l'espressione introdotta da S. Germain nel 1831; è detta curvatura di Casorati l'espressione C_C=(c₁²+c₂²) introdotta da Casorati nel 1889. Si ha la relazione:

C²_M=C_C+C_G.