Bertrand, Joseph-Louis-François

matematico e fisico francese (Parigi 1822-1900). Professore di matematica all'École polytéchnique di Parigi e membro del Collegio di Francia dal 1862 al 1900, della sua vasta produzione vanno ricordati gli studi relativi alla teoria dei numeri, alla geometria, dove analizzò le proprietà delle curve dette di Bertrand, alla meccanica e alla fisica matematica. Si occupò inoltre di storia della scienza e fornì contributi rilevanti alla teoria economica nel campo delle forme di mercato non concorrenziali e della teoria dell'equilibrio generale. È famoso il suo modello di duopolio in cui le imprese sono perfettamente sostituibili, ugualmente efficienti e scelgono, ai fini della massimizzazione del profitto, il prezzo del prodotto come variabile strategica. Entro tale schema, dimostra il famoso paradosso secondo cui tali imprese si vedrebbero costrette a praticare un prezzo di concorrenza, vale a dire determinato dal costo marginale di produzione, e quindi non sarebbero in grado di sfruttare il potenziale potere di mercato legato alla scarsa numerosità. Tra le opere si ricordano: Les fondateurs de l'astronomie moderne (1865), Traité de calcul différentiel et de calcul intégral (1864-70), Éloges académiques (1890-1902).

Curve di Bertrand

Curve spaziali in cui la curvatura dipende linearmente dalla torsione; possono definirsi anche come l'insieme di curve che hanno in comune la normale principale e si ottengono una dall'altra staccando sulla normale principale in ogni punto di una qualsiasi di esse un segmento di lunghezza costante: le curve di Bertrand sono il luogo geometrico del secondo estremo di questo segmento. Le eliche cilindriche sono, per esempio, curve di Bertrand.

Teorema di Bertrand

Teorema della meccanica impulsiva che stabilisce che, per un sistema soggetto a vincoli lisci bilaterali, l'energia cinetica posseduta in un istante immediatamente successivo a quello in cui gli è stato comunicato l'impulso, è inferiore a quella posseduta dallo stesso sistema, nelle stesse condizioni, ma soggetto a vincoli lisci bilaterali aggiuntivi.

Paradosso di Bertrand

Il paradosso nasce dal seguente problema di calcolo delle probabilità. Si scelga a caso una corda in una circonferenza di centro C e raggio uguale a 1. Quale è la probabilità che essa sia più lunga del lato di un triangolo equilatero inscritto nella circonferenza? Il problema viene risolto fissando la posizione della corda per mezzo di due parametri. Vi sono varie possibilità di scelta dei parametri. Si possono scegliere, per esempio, come parametri le coordinate (x, y) del punto medio M della corda; oppure si possono scegliere (d, α) dove d è la distanza da M a O e α è l'angolo MOP dove P è un punto fissato della circonferenza. Ebbene, nel primo caso la probabilità è uguale a 1/4. Nel secondo caso la probabilità è uguale a 1/2. Abbiamo dunque un paradosso. Il matematico francese H. Poincaré ha spiegato che il paradosso nasce dal fatto che in ambedue i casi si è tacitamente supposto che i parametri delle due curve si distribuiscano in modo uniforme. In effetti se, per esempio, si suppone che i parametri (x, y) si distribuiscano in modo uniforme, allora i parametri (d, α) non si distribuiscono in modo uniforme. Si ottengono quindi probabilità differenti perché si sono risolti problemi differenti.

Postulato di Bertrand

È la seguente congettura fatta da Bertrand, nel 1845. Per ogni numero naturale n>3 esiste un numero primo p tale che n2n-2. Il postulato di Bertrand è stato dimostrato dal matematico russo P. L. Čebyšev negli anni 1848-50.