ipèrbole

Lessico

sf. [sec. XIV; dal greco hyperbole, esagerazione, amplificazione].

1) Figura retorica che consiste nell'usare un'espressione esagerata rispetto alla realtà: “Udii sospirando dir parole / Che farian gire monti e stare fiumi” (Petrarca). Il linguaggio comune e familiare fa largo uso di iperboli: stanco da morire, impazzire di dolore, toccare il cielo con un dito. Per estensione, eccesso, esagerazione.

2) In geometria, curva ottenuta per sezione di un cono rotondo con un piano che lo intersechi in ambedue le sue parti opposte rispetto al vertice.

Geometria

Fissato un particolare sistema di riferimento cartesiano sul piano, l'equazione della curva è del tipo (x/a)² - (y/b)² = 1. Essa è quindi una conica. L'asse delle x incontra l'iperbole nei due punti A ≡ (a, 0), A´ ≡ (- a, 0), detti vertici dell'iperbole, mentre l'asse delle y non l'incontra; perciò l'asse x si dice asse trasverso e l'asse y asse non trasverso. L'iperbole è simmetrica rispetto ai suoi assi ed è composta di due rami, che si estendono all'infinito, situati da parti opposte rispetto all'asse y. Su ciascun ramo la curva si prolunga nella direzione di due rette di equazioni, rispettivamente, y = (b/a)x, y = (- a/b)x, dette asintoti dell'iperbole, tangenti alla curva all'infinito (la curva si avvicina indefinitamente a essi). Pertanto nel piano proiettivo l'iperbole completata per continuità con i punti impropri appare come una curva chiusa. Se è a = b, gli asintoti sono perpendicolari e l'iperbole si dice equilatera. I fuochi dell'iperbole sono i due punti F, F´ dell'asse x a distanza dall'origine O delle coordinate e simmetrici rispetto a O. Rispetto ai fuochi l'iperbole può così caratterizzarsi: è il luogo dei punti le cui distanze dai fuochi hanno differenza, in valore assoluto, uguale alla costante 2a. Le direttrici dell'iperbole relative ai fuochi F e F´ sono le rette di equazioni x = a²/c, x = - a²/c. Si ha la seguente proprietà: l'iperbole è il luogo dei punti le cui distanze da un fuoco e dalla relativa direttrice hanno rapporto costante maggiore di 1. Tale rapporto prende il nome di eccentricità dell'iperbole. Abbiamo visto che un'iperbole è una conica avente all'infinito due punti reali e distinti. Più in generale, viene chiamata iperbole una qualsiasi conica avente all'infinito due punti reali e distinti. Una tale conica ha un'equazione del tipo

con la condizione ac - b² < 0. Si dimostra che essa, o è formata da due rette intersecantesi, oppure ha due assi di simmetria, uno intersecante la conica e l'altro no. L'equazione di tale conica, relativamente a un sistema di riferimento avente gli assi coincidenti con i due assi di simmetria, è del tipo (x/a)² - (y/b)² = 1. Quest'ultima equazione viene detta equazione canonica dell'iperbole. Sono dette iperboli coniugate due iperboli aventi gli stessi asintoti, ma gli assi trasverso e non trasverso scambiati tra loro. Sono dette iperboli di ordine superiore, o curve iperboliche, le curve di equazione x= k⁺, in cui m e n sono interi positivi, non contemporaneamente uguali a 1; per m = n = 1 si ha l'iperbole ordinaria.