topologìa

Lessico

Sf. [sec. XIX; topo-+-logia].

1) Studio geografico delle caratteristiche del suolo e del paesaggio.

2) In grammatica, studio della successione delle parole in una proposizione.

3) Studio delle figure (in origine analysis situs) che si conservano per deformazioni continue, senza “strappi” né “sovrapposizioni”. Con la teoria generale degli insiemi e con l'algebra costituisce, nella concezione del gruppo Bourbaki, uno dei pilastri della matematica moderna. Topologia combinatoria è il ramo della topologia tradizionalmente dedicato allo studio delle configurazioni geometriche mediante elementi suscettibili di essere scomposti formando i cosiddetti complessi simpliciali. Poiché fa un uso generalizzato di metodi algebrici e in particolare della teoria dei gruppi è detta anche topologia algebrica.

Matematica

Prendiamo una curva chiusa non “annodata”, che possiamo pensare come un elastico. Se non spezziamo l'elastico, se non facciamo “nodi” o sovrapposizioni di punti, noi avremo sempre una curva chiusa non “annodata” (o, meglio, intrecciata); cambieranno però la sua lunghezza e la sua forma. La proprietà di una curva di essere chiusa e non intrecciata è quindi una proprietà topologica. Non è invece una proprietà metrica, perché si alterano le misure di lunghezza (ed eventualmente di angoli); né proiettiva perché, se la curva chiusa ha, per esempio, la forma circolare o ellittica, per proiezione e sezione conserverebbe tale forma, mentre con una deformazione continua può assumere forme molto diverse. Il concetto intuitivo di deformazione continua senza strappi né duplicazioni viene tradotto dal matematico in quello di corrispondenza biunivoca e bicontinua, ovvero di omeomorfismo; il bi- sta a indicare che la corrispondenza è univoca e continua, insieme alla sua inversa, o, come si usa dire, nei due sensi. Mentre la geometria metrica deriva dalla mano che misura, e la geometria proiettiva dall'occhio che vede, la topologia, secondo una suggestiva e convincente tesi di F. Enriques (1872-1946), deriva dal “senso tattile generale” ed è perciò, dal punto di vista psicologico, molto più elementare e “primitiva” delle altre geometrie sopra menzionate. La cosa è confermata dagli studi sullo sviluppo psicologico dell'infanzia di J. Piaget e della sua scuola (per riprendere l'esempio sopra fatto: un bambino di 4 o 5 anni, richiesto di disegnare un “tondo“, traccerà una linea chiusa e non certamente aperta; non sarà tuttavia in grado di tracciare una circonferenza, perché non possiede ancora il concetto di misura). Un'altra controprova è data dal fatto che la topologia è il ramo della geometria sviluppatosi per ultimo, appunto perché corrispondente a nozioni psicologicamente primarie, le più difficili sempre a essere messe in luce e studiate razionalmente. Alcuni fenomeni topologici furono messi in evidenza già nel sec. XVIII (L. Eulero) e nel sec. XIX (A. F. Möbius), ma per la fondazione della topologia come scienza occorre attendere l'inizio del sec. XX (il francese H. Poincaré e l'olandese J. Brouwer nei primi due decenni; poi, a partire dal 1920, la cosiddetta scuola di Mosca di P. S. Urysohn, A. N. Tychonov, P. S. Aleksandrov).

Topologia: fenomeni e proprietà

Esporremo qualche esempio relativo a curve e a superfici, cioè a enti geometrici di dimensioni 1 o 2. La dimensione, del resto, è una proprietà di natura topologica. Come infatti ha dimostrato G. Peano, è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca e continua, ma in un solo senso, tra un segmento e un quadrato (curva di Peano, che “invade” un quadrato). Per omeomorfismo, cioè imponendo che anche la continuità sia nei due sensi, la dimensione (per esempio secondo H. Lebesgue) di una figura resta invariante. Rinviando alle singole voci e facendo qui appello alla sola intuizione, per una curva (dimensione 1) hanno carattere topologico i concetti di chiuso, aperto , intrecciato, connesso; è anche carattere topologico l'indice di allacciamento, che differenzia i vari tipi di “nodi alla marinara”. Nel caso della dimensione 2 (piano, superficie) e 3 (spazio, solidi) ha carattere topologico la nozione di interno, esterno, frontiera relativa a una data regione R. Un punto P si dirà interno o rispettivamente esterno, a R, se esiste qualche disco, o sferetta, di centro P tutto contenuto in R o, rispettivamente, nel complementare di R; di frontiera (aderente a R) quando ogni disco o sferetta, di centro P, per quanto piccolo, ha punti che sono di R e punti che non sono di R. Una regione R si dirà connessa (per archi) quando due suoi punti qualsiasi sono sempre congiungibili da un cammino (curva omeomorfa a un segmento) tutto contenuto in R. Il teorema di Jordan afferma che ogni curva semplice chiusa (omeomorfa a una circonferenza) in un piano, e sia C, è tale che i punti del piano non appartenenti a C si suddividono in due regioni connesse, che hanno per comune frontiera la C. Fa parte della topologia, per quel che riguarda la dimensione 1, la teoria dei grafi, cioè delle reti composte da punti e segmenti. Storicamente, uno dei primi problemi topologici è stato quello dei 7 ponti di Königsberg, risolto da Eulero, che appartiene alla teoria dei grafi. Per quel che riguarda le superfici connesse, ha carattere topologico l'ordine di connessione, che è il numero dei tagli lungo linee semplici chiuse che può essere eseguito senza sconnettere la superficie stessa. Vale chiaramente 0 per la sfera, 2 per il toro, o ciambella (un qualunque taglio chiuso divide in due la sfera, mentre un toro, tagliato secondo un meridiano P e poi secondo un parallelo M, resta connesso). Ha carattere topologico l'orientabilità di una superficie. Una superficie è orientabile quando in essa si possono distinguere due facce; intuitivamente, quando, realizzata con un foglio di carta, non è possibile dipingerla da una parte e dall'altra con lo stesso colore senza staccare mai il pennello dal foglio. Un primo esempio di superficie non orientabile è stato dato nel sec. XIX da Möbius, con il suo nastro: esso si ottiene torcendo un rettangolo di carta, in modo da incollare due bordi opposti in senso inverso. Infine, è di natura topologica il problema della colorazione delle mappe: qual è il numero minimo di colori indispensabile per dipingere una superficie chiusa divisa in regioni (stati), in modo che mai 2 regioni contigue abbiano lo stesso colore? La risposta è nota per il toro, ed è: sette; per la sfera (e per il globo terrestre) è stato dimostrato, solo recentemente, che sono sufficienti 4 colori. In precedenza si parlava di una congettura (problema dei 4 colori). Il problema è stato risolto nel 1976 da K. Appel e da W. Haken con una dimostrazione che ha richiesto l'ausilio di elaboratori elettronici ad alta velocità. In topologia ha molta importanza lo studio dei punti fissi. Data una funzione f di uno spazio topologico X in se stesso, un punto di X si dice fisso per la funzione f se esso coincide con la sua immagine attraverso f. Vi sono molti teoremi sull'esistenza di punti fissi per particolari tipi di funzioni. Uno di questi èil teorema di Brower per le funzioni continue nella palla n-dimensionale Eⁿ in sé, dove Eⁿ è l'insieme dei punti di Rⁿ aventi distanza minore o uguale a 1 dall'origine. Il teorema di Brower asserisce che ogni funzione continua della palla Eⁿ in sé è dotata di punti fissi. Questo teorema è valido per ogni spazio omeomorfo a Eⁿ. Una sorprendente applicazione di questo teorema si ha considerando un foglio di carta o, più in generale, di un qualsiasi materiale elastico. Poggiamo questo foglio su un piano, prendiamo poi questo foglio e deformiamolo, senza fare alcuno strappo. Poggiamo quindi il foglio così deformato sulla porzione di piano su cui era in precedenza; ebbene almeno un punto del foglio deformato, proiettato sul piano, si trova nella stessa posizione che aveva all'inizio. Ciò è un caso particolare del teorema di Brower poiché il foglio è omeomorfo al cerchio bidimensionale e (congiunzione) e l'operazione di deformazione del foglio seguita dalla proiezione è una funzione continua del foglio in sé. Considerando i gruppi di omologia di Eⁿ si ha una semplice dimostrazione del teorema di Brower.

Topologia combinatoria

Per studiare i problemi topologici, è stata efficacemente usata la triangolazione (per le superfici), che può essere estesa nel metodo della divisione in tetraedri per i solidi, della suddivisione in simplessi n-dimensionali per le varietà di dimensione n. Questo metodo è il fondamento della cosiddetta topologia combinatoria. Lo illustreremo nel caso delle superfici, partendo dal classico teorema di Eulero sulla triangolazione della sfera. Eulero osservò che, comunque si suddivida la superficie sferica in triangoli (o anche in poligoni), si ha sempre: v-s+f=2, dove v, s, f indicano rispettivamente il numero dei vertici, spigoli, delle facce dei triangoli (o poligoni) che ricoprono la sfera. Questa formula vale quindi per i poliedri iscritti in una sfera . Per il tetraedro v=4, s=6, f=4; per l'esaedro o cubo v=8, s=12, f=6, ecc. Il teorema di Eulero, che può essere opportunamente esteso alle altre superfici chiuse (teorema di Eulero-Poincaré), fa vedere come taluni invarianti (numeri fissi), relativi alla superficie in quanto tale, possono essere calcolati facendo ricorso a triangolazioni comunque scelte. Con questo metodo, si perviene, per esempio, a una completa classificazione topologica delle superfici chiuse orientabili. Esse sono: la sfera; la sfera con 1 manico (che è poi, dal punto di vista della topologia, il toro); la sfera con p manici . Grande importanza ha lo studio dei cicli (circuiti chiusi) tracciabili su di una superficie S. Un ciclo C su S potrà essere il contorno di una regione di S (tale è ogni ciclo su di una sfera), oppure no (sul toro, sia un parallelo, sia un meridiano sono cicli non contornanti). Si chiamano omologhi due cicli la cui differenza è un ciclo contornante (sottrarre vuol dire cambiare il verso di percorrenza; sommare, percorrere successivamente due cicli; moltiplicare per n, intero, percorrere n volte lo stesso ciclo). Più cicli si dicono indipendenti se nessuno di essi è combinazione lineare (somma con opportuni coefficienti interi) dei rimanenti. Può darsi che un ciclo non sia contornante (cioè omologo al ciclo nullo, allo zero) e che tuttavia un suo multiplo lo sia; è questo il caso della retta proiettiva nel piano proiettivo, il doppio della quale è contornante. Si dice in questo caso che c'è torsione. Lo studio del gruppo di omologie di S, cioè delle classi di cicli omologhi rispetto all'addizione, consente di determinare caratteri topologici essenziali, che sono il numero dei cicli indipendenti in totale, decomposti nei due numeri che danno rispettivamente quelli con torsione e quelli senza torsione (numero di Betti). Altro gruppo importante è quello di omotopia (di Poincaré); due cicli si dicono omotopi se possono essere trasformati topologicamente l'uno nell'altro restando sulla superficie, e in particolare omotopi a zero (nulli) se possono essere contratti in un punto. Sulla sfera ogni ciclo è omotopo a zero: non così nel toro, dove un parallelo e un meridiano non sono né omotopi a zero, né omotopi tra di loro. Per l'uso di gruppi e di altri strumenti algebrici, la topologia combinatoria si chiama anche topologia algebrica che ha conosciuto grandiosi sviluppi.

Topologia insiemistica e astratta

Abbiamo finora parlato della topologia naturale (basata sui concetti classici di continuità ecc.) nello spazio reale a 1, 2, 3,..., n,... dimensioni. È però possibile astrarre alcune proprietà formali e introdurre una struttura topologica in insiemi qualsiasi (o anche topologie diverse da quella naturale negli spazi reali). Si ha così la topologia insiemistica, di carattere estremamente generale, che trova feconda applicazione si può dire in tutti i rami della ricerca matematica. Ci limiteremo a qualche accenno. Nella topologia ordinaria, si chiama insieme aperto, o soltanto aperto, un insieme per il quale ogni punto è interno. Le proprietà formali degli aperti sono: (I) l'intersezione di un numero finito di aperti è un aperto; (II) l'unione di un numero qualunque di aperti è un aperto; (III) l'intero insieme e l'insieme vuoto sono aperti. Di un insieme per cui valgono le proprietà (I), (II) e (III) si dice che possiede la struttura di uno spazio topologico; si dice anche che sopra di esso è stata definita una topologia. (I), (II) e (III) possono essere presi come assiomi. Una topologia T in un insieme S è allora una famiglia di aperti che verifica (I), (II), (III). Due casi estremi: (a) si prendano come aperti tutti i sottoinsiemi di S (topologia discreta); (b) i soli aperti sono S e l'insieme vuoto (topologia indiscreta): sono, rispettivamente, la topologia più fine e quella meno fine su S (T₁ è più fine di T₂ quando ogni sottoinsieme di S aperto in T₁ lo è anche in T₂). Si possono dare definizioni assiomatiche equivalenti di topologia facendo ricorso alle nozioni di chiuso, di interno, di chiusura. Si possono classificare le diverse topologia con diversi criteri, per esempio con quello della separabilità dei punti. Si chiama spazio di Hausdorff, o spazio separato, uno spazio topologia nel quale due punti distinti possiedono sempre intorni disgiunti: in uno spazio siffatto vale il teorema della unicità del limite. La topologizzazione è un metodo potente, che permette di semplificare e di vedere nella loro essenza i problemi dell'analisi, della geometria algebrica e, in generale, di tutta la matematica.

Topologia algebrica: generalità

Il concetto base su cui si fonda la topologia algebrica è quello di complesso simpliciale, cioè di complesso di simplessi, concetto che permette di generalizzare l'idea di studiare una superficie, o varietà, attraverso una reticolazione, o meglio una suddivisione in “triangoli”, o triangolazione. In uno spazio euclideo E_m, un complesso simpliciale è un qualunque insieme finito K di simplessi soddisfacente le seguenti condizioni: a) le facce di un qualunque simplesso di K appartengono ancora a K; b) due qualunque simplessi di K o sono disgiunti, o la loro intersezione è una “faccia” comune. L'insieme dei punti di E_m che appartengono a uno dei simplessi di K è detto poliedro (da cui il termine faccia); questo insieme è dotato di topologia, indotta in esso dalla topologia definita in E_m, che si può indicare con |K|. Un complesso simpliciale è detto una triangolazione del poliedro corrispondente. Se è dato uno spazio topologico X taleche esista un omeomorfismo tra X e un poliedro |K| corrispondente a un certo complesso simpliciale K, allora si dice che lo spazio X è triangolabile e l'omeomorfismo tra X e |K| è una triangolazione di X.

Topologia algebrica: assiomi di Eilemberg-Steenrod

Dato un complesso simpliciale orientato, cioè tale che ciascuno dei simplessi componenti sia orientato, si definisce catena p-dimensionale, o p-catena, nel complesso K una somma formale c_p del tipo , in cui gli sⁱ_p sono p-simplessi di K e gli n_i sono numeri interi. Una p-catena può immaginarsi come una collezione di simplessi orientati; a ogni p-simplesso si può associare una (p-1)-catena particolare, chiamata bordo, o contorno di s_p e definita come

cui gli sⁱ_p^-1 costituiscono l'insieme di tutte le facce di dimensione p-1 di s_p, essendo ε uguale a 1 o a -1 a seconda che s_p e s_p^-1 siano o non siano orientati concordemente. Nel caso p=0, il contorno del punto s₀ è nullo per definizione. Nel caso di una catena c_p, il contorno si definisce come

.

L'insieme delle p-catene di un complesso simpliciale K costituisce un gruppo abeliano commutativo C_p(K) se si definisce la somma di catene nel modo naturale, cioè come somma delle molteplicità di ciascun simplesso orientato. La definizione di contorno di un p-catena permette di parlare di un omomorfismo d_p del gruppo C_p(K) nel gruppo C_p^-1(K). La iterazione di questo omomorfismo porta alla catena zero; cioè, il contorno del contorno di una catena è nullo. Le catene il cui contorno è nullo sono dette cicli. I cicli di dimensione p, o p-cicli, costituiscono il nucleo Z(K) di d_p e l'immagine B_p(K) di d_p⁺¹ è un sottogruppo di C_p(K), detto sottogruppo delle p-catene. B_p(K) è, in particolare, un sottogruppo di Z_p(K). L'insieme Z_p(K)/B_p(K) è detto gruppo di omologia di ordine p del complesso simpliciale K e si indica con H_p(K); i suoi elementi sono detti classi di omologia dei cicli di dimensione p. L'importanza dei gruppi di omologia risiede nel fatto che sono invarianti topologici del poliedro soggiacente al complesso simpliciale che serve per definirli. Il concetto di omologia può essere esteso a uno spazio topologico generale. La teoria dell'omologia, così definita, viene detta omologia singolare e contiene come caso particolare la teoria dell'omologia per i poliedri. Tale teoria si costruisce associando a ciascuno spazio un complesso di catene e studiando subito dopo tale spazio dal punto di vista dei gruppi di omologia di questo complesso. Un'applicazione continua di uno spazio topologico in un altro induce omomorfismi tra i gruppi di omologia corrispondenti. L'omologia singolare e l'omologia simpliciale verificano certe proprietà, dette assiomi di Eilenberg-Steenrod. Utilizzando esclusivamente queste proprietà è possibile dimostrare la proprietà dell'omologia singolare. S. Eilenberg e N. Steenrod hanno definito teoria omologica una qualsiasi teoria che verifica gli assiomi di Eilenberg-Steenrod. L'omologia simpliciale e l'omologia singolare sono quindi particolari teorie omologiche. Sono state poi considerate le teorie omologiche generalizzate: esse sono teorie che verificano tutti gli assiomi di Eilenberg-Steenrod a eccezione di uno, l'assioma della dimensione. Abbiamo visto che a ogni complesso simpliciale K, per ogni intero p, si associa il gruppo delle catene C_p(K) e il gruppo di omologia simpliciale H_p(K). Sostituendo al gruppo delle catene C_p(K) il gruppo delle cocatene C^p(K) dato dagli omomorfismi tra gruppi da C_p(K) in Z, si definisce in modo analogo a quanto fatto sopra il gruppo H^p(K), detto gruppo di coomologia di ordine p del complesso simpliciale K. Si può estendere il concetto a spazi topologici generali; si ottiene la coomologia singolare a coefficienti in Z. Pure in questo caso vi sono alcune proprietà, dette assiomi di Eilenberg-Steenrod per la coomologia, dalle quali si possono derivare le altre proprietà. Si definisce teoria coomologica una qualsiasi teoria verificante gli assiomi di Eilenberg-Steenrod per la coomologia. Si definisce quindi teoria coomologica generalizzata una teoria verificante tutti gli assiomi di Eilenberg-Steenrod per la coomologia a eccezione di un particolare assioma. Esempi di teorie coomologiche generalizzate sono il cobordismo e la K-teoria. Fissato un gruppo commutativo G, si definisce teoria coomologica a coefficienti in G di K una teoria ottenuta considerando il gruppo C^p(K) dato dagli omomorfismi tra gruppi da C_p(K) in G. Ad ogni spazio topologico X, per ogni intero n, oltre ai gruppi di omologia e di coomologia, vengono associati i gruppi di omotopia. Il gruppo di omotopia di X di ordine p, che viene indicato con π(X), viene determinato dall'insieme delle funzioni continue dalla sfera n-dimensionale Sⁿ allo spazio X dove vengono identificate tra loro le funzioni omotope, cioè le funzioni che possono essere trasformate con continuità una nell'altra. Nel caso di p=1 si ottiene il gruppo fondamentale, o di Poincaré, dello spazio X.

Topologia differenziale

Essa studia le varietà differenziabili a meno di diffeomorfismi. Un diffeomorfismo tra due varietà differenziabili è un omeomorfismo tra esse che, insieme all'omeomorfismo inverso, sia differenziabile. Se due varietà differenziabili di dimensione uguale o minore di tre sono omeomorfe, allora esse sono anche diffeomorfe. Vi sono esempi di varietà differenziabili di dimensione maggiore di tre che sono omeomorfe ma non diffeomorfe. Tali sono le sfere esotiche di J. Milnor.