superfìcie (geometria)

Generalità

La superficie è un insieme di punti le cui coordinate soddisfano una determinata relazione funzionale; nello spazio euclideo le coordinate cartesiane x, y, z soddisfano equazioni del tipo z=f(x, y) (equazione cartesiana esplicita), ovvero del tipo F(x, y, z)=0 (equazione cartesiana implicita), ovvero del tipo: x=x(u, v), y=y(u, v), z=z(u, v) (equazioni parametriche). Quando l'equazione di una superficie si presenti in una di queste forme, non sempre è possibile passare a un'altra forma; per esempio, se un punto P della superficie è semplice e se l'equazione è in forma implicita, si può passare a quella esplicita solo in un intorno del punto P. Intuitivamente, per superficie si può intendere il bordo o il contorno di un solido geometrico. Una definizione rigorosa, anche se molto tecnica e alquanto restrittiva, è offerta dalla topologia: dicesi superficie uno spazio topologico connesso, tale che ogni suo punto possegga un intorno omeomorfo al piano euclideo; dal punto di vista intuitivo ciò significa che nell'intorno di ogni punto della superficie questa si può trattare come il piano ordinario. Una tale superficie dicesi più propriamente superficie topologica. Una superficie dicesi algebrica se può rappresentarsi con un'equazione del tipo F(x, y, z)=0, dove F(x, y, z) è un polinomio di dato grado n, che dicesi ordine della superficie. Nello spazio proiettivo l'ordine di una superficie algebrica uguaglia il numero dei punti che la superficie ha in comune con una generica retta. In particolare, secondo che F sia razionale o irrazionale, si hanno superfici algebriche razionali e superfici algebriche irrazionali. Nel caso delle superfici algebriche è importante lo studio dei punti nodali, o nodi. È detto nodo di una superficie, o punto doppio biplanare, un punto di essa in cui il cono tangente è costituito da due piani reali e distinti. Una superficie dicesi triangolabile se può essere ricoperta da figure omeomorfe a triangoli, in numero finito, T₁,..., T_n, di modo che: se due triangoli si intersecano essi hanno in comune esattamente un lato; presi due triangoli R e S esistono triangoli T₁=R, T₂,..., T_k=S, tali che due triangoli adiacenti hanno un lato in comune. Una superficie triangolabile dicesi orientabile se i triangoli di una triangolazione sono orientati in modo che due triangoli intersecantisi inducono sul lato in comune orientazioni opposte. Un esempio di superficie triangolabile e orientabile è la sfera. Una superficie triangolabile è chiusa se ogni lato di un triangolo appartiene anche a un altro triangolo. Una notevole classificazione dal punto di vista topologico delle superfici orientabili e chiuse è la seguente: ognuna di tali superfici è omeomorfa a una sfera avente un numero pari 2p di buchi, a due a due collegati da un manico; tale numero p di manici prende il nome di genere della superficie; la sfera ha genere 0, il toro ha genere 1. Per una superficie chiusa e orientabile la caratteristica di Eulero-Poincaré è 2-2p.

Proprietà differenziali delle superfici

Si abbia una superficie S di equazioni parametriche x=x(u,v), y=y(u,v), z=z(u, v). Un punto P_0≡(x₀, y₀, z₀) di S è regolare se in quel punto non si annullano contemporaneamente i tre determinanti jacobiani

dove x_u, y_v, ecc. denotano le derivate parziali rispetto a u, v ecc. Dicesi retta tangente in un punto P₀ di S una retta tangente a una curva tracciata su S e passante per P₀. La totalità delle rette tangenti in P₀ formano il cono tangente in P₀; se P₀ è regolare, il cono tangente è un piano, che dicesi piano tangente e ha equazione

dove x⁰_u, y⁰_v ecc. significa derivata parziale calcolata in P₀. I coefficienti dell'equazione del piano tangente sono, a meno del segno, i tre determinanti jacobiani soprascritti. Se un punto P₀ è ordinario, nell'intorno di questo punto la superficie può rappresentarsi con equazione del tipo z=f(x, y) e se la funzione f(x, y) ammette almeno derivate seconde continue, si ha che il punto P₀ è ellittico, parabolico, iperbolico secondo che il determinante hessiano

(dove le derivate parziali sono calcolate in P₀) sia rispettivamente maggiore, uguale o minore di zero. Lo studio del comportamento locale di una superficie può essere effettuato mediante l'uso sistematico del concetto di curvatura. Data una superficie definita da equazioni parametriche del tipo x=f₁(u,v), y=f₂(u,v), z=f₃(u,v), la distanza tra un piano tangente in un punto qualunque P(u,v) e un punto P(u+du, v+dv) della superficie è data da , in cui e è un infinitesimo di ordine superiore al terzo rispetto a du e a dv e Φ è dato da

essendo

; cui gli α sono i coseni direttori della normale alla superficie nel punto considerato. La forma quadratica Φ è detta seconda forma quadratica fondamentale della superficie; è detta invece prima forma quadratica fondamentale della superficie l'espressione dell'elemento lineare infinitesimo sopra tale superficie

I tre coefficienti E, F, G si chiamano coefficienti fondamentali di prim'ordine della superficie, mentre quelli che compaiono nell'espressione di Φ sono detti coefficienti fondamentali di second'ordine. La cosiddetta curvatura normale della superficie in un punto e secondo una direzione data è definita come la curvatura in detto punto della curva ottenuta come sezione normale della superficie nel punto e secondo la direzione data; il valore della curvatura normale è espresso dal rapporto tra i valori della seconda e della prima forma della superficie in detto punto e secondo la direzione data, rapporto al quale si attribuisce valore positivo o negativo "Per le superfici di rotazione a curvatura vedi figure A e B al lemma del 19° volume." "Vedi due disegni della superficie di rotazione vol. 21, pag. 140" secondo che la direzione positiva della normale principale della sezione normale in quel punto coincida o no con la direzione positiva della normale alla superficie in detto punto. L'inverso della curvatura normale è detto raggio di curvatura normale della superficie in detto punto e secondo la direzione data. Tale raggio ha un massimo e un minimo assoluti secondo che si calcoli nell'una o nell'altra delle due direzioni dette direzioni principali della superficie nel punto. In una superficie sono definite anche le cosiddette linee di curvatura: (ED´-FD)du²+(ED´-GD)dudv+(FD‟-GD´)dv=0. Queste curve formano un sistema ortogonale sopra la superficie e le due curve del sistema che passano per ciascun punto della superficie determinano le direzioni principali della superficie in quel punto. Le curvature normali corrispondenti a dette direzioni principali si dicono curvature principali e i loro inversi raggi principali di curvatura normale. Il prodotto delle curvature principali è anche detto curvatura totale (o anche curvatura normale totale, o curvatura gaussiana) della superficie in quel punto. La semisomma delle curvature principali di una superficie in un punto costituisce la cosiddetta curvatura media. Le superfici possono classificarsi secondo il segno della curvatura totale: le superfici come quelle di una sfera o di un ellissoide hanno curvatura totale positiva in tutti i punti, mentre le superfici cilindriche e in generale tutte quelle sviluppabili hanno curvatura totale nulla. Sono dette direzioni asintotiche di una superficie in un punto le direzioni secondo le quali la curvatura normale si annulla. In generale, in ogni punto di una superficie esistono due direzioni asintotiche che possono essere reali distinte, reali coincidenti o complesse coniugate: in accordo con ciascuna di queste possibilità i punti corrispondenti sono iperbolici, parabolici o ellittici. Sono dette linee asintotiche le curve della superficie i cui punti sono tutti punti di contatto della linea con una direzione asintotica. In generale, per ogni punto della superficie passano due linee asintotiche. Si definisce come raggio di curvatura totale in un punto dato la grandezza in cui K è la curvatura totale nel punto considerato. È evidentemente una quantità reale solo nel caso in cui K sia positiva. Se si prendono come linee coordinate di un sistema di riferimento sulla superficie le linee asintotiche che passano per il punto, il punto è detto piano quando D´=0: tutte le curve della superficie che passano per tale punto sono, allora, in un suo intorno, linee asintotiche e il raggio di curvatura totale è infinito; in altri termini, la superficie è localmente identificabile con un piano. Un punto piano è un caso particolare di punto ombelicale, od ombelico, definito come punto della superficie in cui le due forme principali sono proporzionali. Quando i raggi principali della curvatura normale sono uguali, il punto ombelicale è anche detto punto circolare (l'indicatrice di Dupin è una circonferenza): una superficie è sferica se tutti i suoi punti sono circolari. In un punto ombelicale la curvatura normale della superficie è uguale in tutte le direzioni. In particolare, si dicono: superficie di rotazione, quella che può generarsi per rotazione di una curva piana intorno a una retta del piano della curva. Le sezioni di una tale superficie con piani perpendicolari all'asse di rotazione sono cerchi, detti paralleli; le sezioni piane contenenti l'asse diconsi meridiani; superficie rigata, "Per la superficie rigata vedi figura C al lemma del 19° volume." "Vedi disegno della superficie rigata vol. 21, pag. 140" è quella costituita da infinite rette, dette generatrici, che si appoggiano a una curva, detta direttrice. Esempi di tali superfici sono le quadriche, che risultano doppiamente rigate, cioè ammettono due sistemi diversi di generatrici; superficie sviluppabile, quella che può essere applicata su un piano; è necessariamente rigata.

Superficie minima

Superficie di area minima tra tutte le superfici aventi un bordo prefissato. Se tale bordo è una curva piana chiusa, allora la superficie minima è data dalla superficie piana delimitata dalla curva. Nel caso in cui la curva non sia piana, la determinazione della superficie minima non è sempre facile. Il settore della matematica in cui si affrontano tali tipi di questioni è il calcolo delle variazioni. Un esempio fisico di superficie minima è dato dalle lamine liquide ed è stato studiato dal fisico belga J. A. Plateau.