distanza (geometria)

in geometria, "Per la distanza in geometria vedi le figure 1-2-3 alla pagina 284 dell’8° volume." se due punti sono in uno stesso piano e hanno coordinate cartesiane (x, y) e (x´, y´), la loro distanza vale:

se sono nello spazio e hanno coordinate (x, y, z) e (x´, y´, z´), la loro distanza vale:

Distanza di un punto da una retta o da un piano, distanza del punto dato dal piede della perpendicolare condotta da esso alla retta o al piano; distanza di due rette parallele, misura del segmento di perpendicolare avente gli estremi sulle due rette; distanza di due rette sghembe, distanza tra i due punti in cui le due rette sono tagliate dalla loro unica perpendicolare comune. Più in generale, per distanza tra due sottoinsiemi A e B del piano o dello spazio, si definisce l'estremo inferiore delle distanze tra un qualsiasi punto di A e un qualsiasi punto di B. La distanza, per esempio, tra due cerchi di raggio r e r´ con centri aventi tra loro distanza uguale a c≥+r+r´ è uguale a c-r-r´. Se due insiemi hanno almeno un punto in comune, la distanza tra essi è uguale a 0. Esistono però insiemi che, pur non avendo alcun punto in comune, hanno distanza uguale a 0. La distanza, per esempio, tra un'iperbole e un suo asintoto è uguale a 0. Si dice distanza angolare tra due punti la misura dell'angolo sotto il quale i due punti sono visti da un punto di osservazione. La nozione di distanza tra punti nel piano e nello spazio si generalizza nel caso di elementi di un insieme qualsiasi. Un insieme A si dice dotato di distanza (o metrica) se a ogni coppia di elementi x, y di A è associato un numero reale non negativo d(x, y) che verifica le seguenti tre condizioni per tutti gli elementi x, y, z di A: d(x, y)=0 se e solo se x=y; inoltre d(x, y)=d(y, x) e infine

Quest'ultima disequazione si dice triangolare perché, nel caso della usuale distanza nel piano o nello spazio, essa esprime il fatto che la lunghezza di un lato di un triangolo è minore o uguale alla somma delle lunghezze degli altri due lati. Uno spazio dotato di distanza si dice spazio metrico. In algebra lineare, dato uno spazio vettoriale sul campo dei numeri reali dotato di prodotto scalare definito positivo <, >, si definisce distanza relativa al prodotto scalare tra i vettori x e y il numero reale dato dalla radice quadrata di <x-y, x-y>. Tale definizione si estende al caso di prodotti hermitiani definiti positivi su uno spazio vettoriale sul campo dei numeri complessi.