piano (matematica e geometria)

Matematica: generalità

Ente fondamentale della geometria determinato da tre punti non in linea retta, che assume caratteristiche diverse a seconda della geometria a cui si fa riferimento. Il termine indica generalmente sia l'ambiente della geometria piana, sia un elemento costitutivo, assieme al punto e alla retta, della geometria solida. Per il piano della geometria elementare vale il postulato della partizione del piano, che afferma che ogni retta del piano lo divide in due porzioni, dette semipiani, in modo tale che il segmento congiungente due qualsiasi punti distinti del piano taglia o non taglia la retta secondo che i due punti siano in semipiani diversi o nello stesso semipiano. Dal punto di vista analitico, un piano dello spazio, rispetto a un sistema di coordinate cartesiane x, y, z, è rappresentato da un'equazione lineare del tipo Ax+By+Cz+D=0, con le costanti A, B, C non contemporaneamente nulle. L'equazione del piano si può scrivere in altre forme: per esempio, il piano che taglia gli assi cartesiani nei tre punti (a, 0, 0), (0, b, 0), (0, 0, c) distinti dall'origine del sistema di riferimento, è dato dall'equazione ; il piano passante per tre punti P₁(x₁, y₁, z₁), P₂(x₂, y₂, z₂), P₃(x₃, y₃, z₃) è dato dall'equazione

Due piani sono paralleli quando non hanno alcun punto in comune, ovvero, in altri termini, hanno in comune la retta all'infinito; sono perpendicolari quando determinano un diedro la cui sezione retta è un angolo retto. Date le equazioni di due piani nella forma generale A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0 e A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0, la condizione di parallelismo è espressa analiticamente dalla proporzionalità dei coefficienti delle coordinate corrispondenti: A₁=kB₂, A₂=kB₂, A₃=kB₃, con k numero reale non nullo. Dato un piano mediante la sua equazione in forma generale e una retta dello spazio di coseni direttori a, b, c, la condizione di parallelismo tra retta e piano è espressa dalla relazione Aa+Bb+Cc=0. La condizione di perpendicolarità è invece espressa dalla relazione A=ha, B=hb, C=hc con h numero reale non nullo. L'introduzione di considerazioni di carattere metrico porta alla cosiddetta forma normale dell'equazione del piano. Sia v il versore normale al piano; i coseni degli angoli α, β, γ formati da v con gli assi coordinati sono le proiezioni di esso lungo questi ultimi e sono detti coseni direttori del piano. Dato un piano di equazione generale Ax+By+Cz+D=0 non parallelo ad alcun asse e non passante per l'origine del sistema di riferimento, se d è la distanza del piano dall'origine si ha che

La forma normale dell'equazione del piano è xcos α+ycos β+zcos γ-d=0. La distanza h di un punto P₀(x₀, y₀, z₀) dal piano è data dall'espressione h=x₀ cos α+y₀ cos β+z₀ cos γ-d. La condizione di ortogonalità di due piani è data dalla relazione

cosα´∤cosα´+cosβ∤cosβ´+cosγ∤cosγ´=0

oppure dalla relazione equivalente AA´+BB´+CC´=0. Fascio di piani è l'insieme dei piani dello spazio aventi una retta in comune; stella di piani è l'insieme di piani aventi un punto in comune. § Piano coordinato vedi coordinata; piano orientato è un piano dotato di orientamento, cioè un piano nel quale sia definito un verso positivo di rotazione; ciò si ottiene in pratica definendo un versore normale al piano; la giacitura di un piano rappresenta invece ciò che vi è di comune tra un piano e tutti quelli a esso paralleli, in altri termini la sua retta impropria. In una superficie rigata, piano direttore è il piano al quale è parallela una delle generatrici della superficie stessa; per piano principale e piano diametrale di una quadrica, vedi quadrica; per piano di simmetria di una figura solida, vedi simmetria. § È detto piano radicale il luogo geometrico dei punti che hanno la stessa potenza rispetto a due sfere; se le due sfere hanno punti in comune, il piano radicale è quello che contiene la circonferenza intersezione. § Per piano osculatore, piano rettificante, piano normale, a una curva sghemba, vedi curva. Per piano normale e piano tangente a una superficie, vedi superficie. § Piano reale è il comune piano euclideo in cui può costruirsi una corrispondenza biunivoca tra i suoi punti e l'insieme R² delle coppie di numeri reali; piano immaginario, o piano complesso, o piano-sfera, "Per il piano sfera vedi figura al lemma del 15° volume." "Vedi disegno vol. 17, pag. 162" o piano di Argand-Gauss è il piano in cui si stabilisce una corrispondenza biunivoca tra i suoi punti e l'insieme dei numeri complessi z=x+iy; l'asse x di tale piano è detto asse reale e l'asse y asse immaginario. Il termine piano-sfera deriva dal fatto che, presa una sfera e un piano a essa tangente, "Vedi disegni vol. 17, pag. 162" il piano dei numeri complessi corrisponde a una proiezione della sfera dal punto O diametralmente opposto al punto di contatto, fatta in modo da costruire una corrispondenza biunivoca senza eccezioni tra i punti della sfera e quelli del piano. Tra i punti della sfera è compreso anche il punto O che si proietta nel punto all'infinito del piano.

Geometria proiettiva: generalità

In geometria proiettiva e descrittiva, piano di proiezione è un piano sul quale si proietta una figura solida per rappresentarla come piana; piano di stazione, o piano geometrale, è un piano di riferimento orizzontale perpendicolare al quadro; per piano polare, vedi polarità. È detto piano improprio, o piano all'infinito, l'insieme dei punti delle rette improprie dello spazio euclideo ordinario; in un'omografia tra spazi sovrapposti, piano limite è il piano che corrisponde al piano all'infinito. Il piano euclideo ordinario completato con la sua retta impropria, considerata alla stessa stregua delle rette proprie, è detto piano proiettivo; un particolare piano proiettivo è il piano affine in cui si studiano le proprietà affini delle figure.

Geometria proiettiva: piano proiettivo

Assiomaticamente un piano proiettivo è un insieme di punti tra i quali si distinguono dei sottoinsiemi, da dirsi rette, in modo che: esista una e una sola retta congiungente due punti distinti; esista esattamente un punto in comune a due rette distinte; esistano quattro punti a tre a tre non allineati. In un piano proiettivo astratto, quale quello definito, possono introdursi delle coordinate di Hall. Siano O, U, A, B quattro punti a tre a tre non allineati. Sia K un insieme di simboli in corrispondenza biunivoca con i punti della retta OU. Se al punto P della retta OU corrisponde il simbolo a di K, associamo a P la coppia (a,a). Ai punti O e U associamo rispettivamente le coppie (0,0) e (1, 1). Dato il punto Q≠A della retta OA, se le rette QB e OU si intersecano in (x,x), allora associamo a Q la coppia (x,0). Analogamente, se il punto R≠B appartiene alla retta OB e RB incontra OU in (y,y), associamo a R la coppia (0,y). Sia ora P un punto qualunque, non appartenente alla retta AB. Costruiamo i due punti: Q=(x,0) intersezione delle rette PB e OA e R=(0,y) intersezione delle rette PA e OB. Associamo allora al punto P la coppia (x,y), che si diranno le coordinate di P.