quàdrica

sf. [sec. XVIII; da quadrico]. In geometria, superficie algebrica del 2º ordine, rappresentata quindi in coordinate cartesiane x, y, z da un'equazione algebrica di grado due:

Il determinante del quarto ordine A=|a|, con r=1, 2, 3, 4, s=1, 2, 3, 4, si chiama discriminante della quadrica; se è A≠0 la quadrica dicesi non degenere o irriducibile, altrimenti degenere o riducibile; in quest'ultimo caso, secondo la caratteristica c di A si hanno tre tipi di quadrica: c=3, la quadrica è un cono irriducibile; c=2, 1, la quadrica è spezzata rispettivamente in una coppia di piani distinti o coincidenti. Una quadrica dicesi rigata se contiene due sistemi distinti di rette, dette schiere di rette, tali che per ogni punto della quadrica passa una e una sola retta di ciascuna schiera. Un esempio di quadrica rigata è l'iperboloide a una falda; un modello può essere costruito per mezzo di fili tesi tra due cerchi. Tali fili rappresentano le schiere di rette contenute nell'iperboloide a una falda ed evidenziano quindi la sua struttura di rigata. Tale struttura viene spesso utilizzata dagli artigiani per costruire cestini di vimini. Considerando la posizione della quadrica rispetto al piano improprio dello spazio affine ordinario reale si ha la classificazione affine: se il piano improprio non interseca la quadrica si hanno due tipi di quadrica e cioè l'ellissoide reale, quadrica non degenere composta di punti reali, e l'ellissoide immaginario, quadrica priva di punti reali; se il piano improprio è secante si hanno altri due tipi di quadrica e cioè l'iperboloide a due falde (detto anche iperboloide ellittico), quadrica non degenere e non rigata, e l'iperboloide a una falda (detto anche iperboloide iperbolico), quadrica non degenere e rigata; se il piano improprio è tangente si hanno anche in questo caso due tipi di quadrica e cioè il paraboloide ellittico, quadrica non degenere e non rigata, e il paraboloide iperbolico, quadrica non degenere e rigata. Dal punto di vista metrico ci sono solo tre tipi di quadrica: l'ellissoide, l'iperboloide e il paraboloide. Ogni quadrica non degenere dello spazio proiettivo determina una polarità, nella quale la quadrica è caratterizzata come il luogo dei punti autoconiugati. I piani polari dei punti impropri diconsi piani diametrali della quadrica; il polo del punto improprio dicesi centro della quadrica. Gli ellissoidi, gli iperboloidi a centro proprio e i coni a vertice proprio diconsi quadrica a centro. Si dimostra facilmente che il piano diametrale coniugato con una direzione data è il luogo geometrico dei punti medi delle corde della quadrica parallele a tale direzione. Un piano diametrale e un diametro, cioè una corda passante per il centro della quadrica, sono coniugati se il diametro è parallelo alla direzione coniugata del piano diametrale. Se un piano diametrale e il suo diametro coniugato sono perpendicolari, il piano è detto piano principale della quadrica e il diametro asse della quadrica; le intersezioni dei piani principali con la quadrica sono le sue coniche principali e gli assi e i vertici di queste sono gli assi e i vertici della quadrica. Il numero massimo di assi principali è uguale a tre.