Bernoulli

famiglia di famosi matematici e scienziati originaria di Anversa, ma stabilitasi a Basilea verso la fine del sec. XVI. Tra i suoi membri meritano particolare citazione Jacques I, il fratello Jean I e il figlio di questi Daniel I. § Jacques (anche Jakob) (Basilea 1654-1705), professore di matematica all'Università di Basilea, col fratello Jean sviluppò ulteriormente il calcolo infinitesimale, introdotto da Leibniz e Newton, indicandone numerose applicazioni alla meccanica e alla geometria in una serie di memorie apparse negli Acta eruditorum. Tra esse è particolarmente nota quella del 1690 in cui per primo suggerì il nome di calculus integralis per quello che Leibniz aveva chiamato calculus summatorius, nome poi adottato dallo stesso Leibniz: in tale memoria Jacques applicava il “calcolo” allo studio della curva isocrona, una delle curve note fino ad allora solo per via geometrica. Su altre curve furono estremamente chiarificatrici le memorie di Jacques; tra esse: la catenaria, che tanta importanza avrà nella scienza delle costruzioni; la lemniscata, curva a forma di 8 o di nastro annodato (lemniscus) che da Bernoulli prese nome; la spirale logaritmica, di cui scoprì la caratteristica proprietà di riprodursi identicamente dopo ognuna di molte trasformazioni geometriche. Altri importanti contributi di Jacques all'analisi sono lo studio e la soluzione del problema degli isoperimetri; la soluzione del problema della brachistocrona, proposto dal fratello Jean, che costituisce un esempio di applicazione del calcolo variazionale; l'introduzione delle coordinate polari nella geometria analitica; lo studio della somma delle potenze dei numeri naturali per cui introdusse i numeri di Bernoulli. Jacques è altresì l'autore del primo completo trattato di calcolo delle probabilità (Ars coniectandi, Arte delle congetture), pubblicato postumo nel 1713 a cura del nipote Nicolas I e nel quale è enunciata e dimostrata la legge dei grandi numeri, nota anche come teorema di (probabilità). § Jean (Basilea 1667-1748), fratello minore di Jacques, gli succedette alla cattedra di Basilea dopo aver insegnato a Groninga. Di carattere ambizioso, ebbe clamorose controversie per motivi di priorità con molti colleghi, compresi il fratello Jacques e il figlio Daniel. Si interessò di medicina, chimica e astronomia, oltre che di analisi matematica, e contribuì a diffondere il nuovo calcolo anche attraverso la sua corrispondenza con i più grandi matematici europei. Il suo ricchissimo epistolario offre un quadro straordinario dell'attività scientifica all'alba del sec. XVIII. Tra i suoi allievi vi furono L. Eulero e il marchese de L'Hospital, autore, sulla base di lettere e annotazioni di Jean, del primo completo trattato di calcolo infinitesimale (1696). Come il fratello Jacques, si occupò di molti problemi celebri del suo tempo, tra i quali lo studio dell'equazione differenziale, nota come equazione di , di cui nel 1697 pubblicò un metodo di risoluzione; inoltre il suo studio sulle funzioni esponenziali (nella forma y=a^x e y=x^x) e sui loro rapporti con i logaritmi, che verrà completato da Eulero, lo fanno ritenere il fondatore di tale argomento. § Daniel I (Groninga 1700-Basilea 1782), figlio di Jean, fu amico di L. Eulero; insegnò matematica a Pietroburgo (1725-33) e successivamente botanica, anatomia e fisica a Basilea. La sua opera comprende numerosi studi sul calcolo delle probabilità, che applicò a problemi di economia, medicina e astronomia. Si occupò inoltre di fisica-matematica studiando il problema delle corde vibranti, assai dibattuto in quei tempi (completamente risolto poi da d'Alembert), ed espose i primi principi della teoria cinetica dei gas. Il suo nome rimane essenzialmente legato agli studi di idrodinamica, alla cui base è il teorema sulla conservazione dell'energia nel moto dei fluidi, pubblicato nell'opera Hydrodynamica, sive de viribus et motibus fluidorum commentarii (1738; Idrodinamica, ovvero commentari intorno alle forze e ai moti dei fluidi).

Equazione di Bernoulli

Equazione differenziale della forma in cui a e b sono funzioni di x e n un intero diverso da 0 e 1. Si risolve dividendo l'equazione per yⁿ ed effettuando poi la trasformazione in modo da ottenere un'equazione lineare in z.

Numeri di Bernoulli

Sono i numeri razionali B₀, B₁,..., B_n,... introdotti da Jacques Bernoulli per calcolare la somma delle potenze dei numeri naturali:

I primi numeri di Bernoulli sono:

I numeri di Bernoulli tipo B₂_n+₁ sono tutti nulli escluso B₁. Essi hanno applicazioni in molti campi della matematica quali, per esempio, l'analisi, il calcolo numerico e la teoria dei numeri.

Polinomi di Bernoulli

Polinomi introdotti da Jacques Bernoulli definiti da:

dove B₀,..., B_n sono i numeri di Bernoulli. Si ha quindi B_n=B_n(0). I primi polinomi di Bernoulli sono:

I polinomi di Bernoulli hanno la seguente proprietà:

Per questa ragione sono ulizzati nel calcolo alle differenze finite.

Teorema di Bernoulli

Enunciato da Daniel Bernoulli per i liquidi perfetti, cioè non viscosi e non comprimibili, in moto stazionario irrotazionale (moto in cui la velocità in ogni punto del fluido non cambia con il tempo e in cui non si hanno vortici), rappresenta una diretta conseguenza del principio di conservazione dell'energia meccanica. Il teorema dice sostanzialmente che se si considera un tubo di flusso (materializzabile con una condotta senza attrito), in ogni punto di esso per una particella del liquido è costante la somma delle energie cinetica, potenziale e di pressione; in formula

in cui g rappresenta l'accelerazione di gravità, m la massa della particella, v e V, rispettivamente, la sua velocità e il suo volume, p la pressione che si esercita su di essa e h l'altezza a cui si trova rispetto a un livello di riferimento. Dividendo per mg si ha

in cui γ è il peso specifico del liquido. I termini sono detti rispettivamente altezza cinetica e altezza piezometrica (hanno infatti le dimensioni di una lunghezza). Il teorema di Bernoulli, con l'introduzione di opportuni termini correttivi, può essere applicato ai fluidi reali, liquidi e aeriformi e può essere generalizzato anche al caso di moti vorticosi. Le sue applicazioni in idraulica e in aerodinamica sono molte e importanti per cui può essere considerato come il teorema fondamentale della meccanica dei fluidi.