coordinata (matematica)

numero, reale, complesso o appartenente a un campo qualunque, atto a determinare la posizione di un punto sulla retta, nel piano, nello spazio, su una superficie, ecc., rispetto a un elemento di riferimento. § Sistema di coordinate. In un sistema di coordinate, fissato su una retta orientata un punto O, origine, e preso un segmento u come unità di misura, a ogni punto P di detta retta si può far corrispondere un numero reale x nel modo seguente: se il punto P coincide con il punto O, si fa corrispondere al punto il numero reale 0; se il segmento orientato OP e la retta orientata hanno la stessa orientazione, si fa corrispondere al punto P il numero reale x, che uguaglia la lunghezza del segmento OP rispetto all'unità di misura u; nel caso in cui il segmento e la retta abbiano diversa orientazione si fa corrispondere al punto P il numero negativo -x dove x è la misura del segmento OP. Il numero reale così associato al segmento orientato OP si dice misura orientata del segmento. Viceversa, a ogni numero reale x corrisponde un ben determinato punto della retta. Il numero reale x così determinato dicesi coordinata ascissa o semplicemente ascissa del punto P. L'origine O e l'unità di misura u costituiscono un sistema di riferimento per le ascisse. Se sulla retta si sceglie un altro riferimento, a ogni punto P sarà associata una nuova ascissa x´; la relazione che intercorre tra la primitiva ascissa x e la nuova ascissa x´ è data da una trasformazione lineare invertibile, cioè una relazione del tipo: x´=ax+b, dove a indica il rapporto tra la vecchia unità di misura e la nuova e b la misura, rispetto al nuovo riferimento, dello spostamento dell'origine. Detta trasformazione è invertibile nel senso che da x´ si può passare a x: x=(1/a)x´-(b/a), con a≠0. Un sistema di coordinate può essere stabilito anche su una curva (ascisse curvilinee), fissando su questa un'origine O, un verso e un'unità di misura: l'ascissa curvilinea di P è la lunghezza, con segno, dell'arco di curva OP. Se si fissano nel piano due rette intersecantisi in un punto Oe si fissa su ciascuna retta un verso, un'unità di misura (u e u´) e la comune origine O, su ciascuna retta resta determinato un sistema di ascisse. Le due rette prendono il nome di assi coordinati o assi cartesiani o, in generale, assi delle x e delle y o anche, rispettivamente, asse delle ascisse e asse delle ordinate. A ogni punto P del piano corrisponde biunivocamente una coppia ordinata di numeri reali (x, y), misure orientate dei segmenti ottenuti tirando da P le parallele agli assi x e y, che diconsi, rispettivamente, ascissa e ordinata del punto P. L'origine O e le due unità di misura fissate sulle due rette costituiscono un sistema di riferimento cartesiano generale o riferimento obliquo. Se gli assi x e y sono ortogonali, il riferimento si dice ortogonale . A seconda poi che le due unità di misura siano distinte o coincidano, si parla di riferimento dimetrico o di riferimento monometrico. Nel piano ha interesse considerare, specie per le applicazioni di meccanica, il sistema delle coordinate polari. Si fissano un punto O , detto polo, una semiretta a, detta asse polare e uscente da O, e un'unità di misura u, per le lunghezze. Per un punto P del piano restano definiti la lunghezza ρ del segmento OP, detto raggio vettore, e l'angolo orientato α, compreso fra 0 e 2π, detto anomalia (o azimut), formato dalla semiretta a e dalla semiretta OP. Raggio vettore e anomalia si dicono coordinate polari del punto P. Per definire le coordinate nello spazio, si fissano tre rette non complanari e passanti per uno stesso O; su ciascuna retta, fissati un verso, un'unità di misura e la comune origine O, resta individuato un sistema di ascisse rispettivamente delle x, delle y, delle z. Le tre rette si dicono, come nel caso del piano, assi coordinati o cartesiani; a seconda del loro orientamento relativo si possono avere sistemi destrorsi o sinistrorsi ; generalmente vengono però utilizzate terne destrorse. Dato un punto P dello spazio, resta quindi a esso associata biunivocamente una terna ordinata di numeri reali (x, y, z) che diconsi le coordinate cartesiane del punto P, rispettivamente, l'ascissa, l'ordinata e la quota. I piani xy, xz, yz formati dalle tre rette a due a due si dicono piani coordinati. L'origine O e le unità di misura fissate sulle rette costituiscono un sistema di riferimento cartesiano generale od obliquo; se gli assi sono ortogonali tra loro il riferimento è ortogonale. Come nel piano, si definiscono il riferimento monometrico e dimetrico; in più si ha il riferimento trimetrico, con le unità di misura per i tre assi tutte diverse tra loro. Anche nello spazio si possono definire le coordinate polari: fissati un punto O detto polo, una semiretta a uscente da O, detta asse polare, un semipiano α uscente da a, detto semipiano polare, ogni punto P dello spazio viene individuato mediante la misura ρ del segmento OP, l'angolo ϑ, compreso fra 0 e π, formato dalle due semirette a e OP, e l'angolo φ compreso fra 0 e 2π, formato dai due semipiani α e a P. I tre numeri ρ, ϑ, φ sono le coordinate polari del punto P dello spazio e prendono il nome rispettivamente di raggio vettore, colatitudine (o distanza zenitale) e longitudinale (o azimut). Se si assume a coincidente con l'asse z e O come origine delle coordinate cartesiane, l'asse delle x positive nel semipiano α e l'asse delle y orientato in modo che il verso risultante delle rotazioni nel piano xy coincida con quello fissato nel fascio di piani di asse z, si ottengono le formule di passaggio dalle coordinate polari (ρ, ϑ, φ) alle coordinate cartesiane (x, y, z):

Se a ρ si dà un valore costante, queste formule diventano le equazioni parametriche della sfera di centro O e raggio ρ: i parametri ϑ e φ individuano i punti della sfera e π/2-ϑ e φ si dicono allora latitudine e longitudine e prendono il nome di coordinate geografiche. Un altro sistema di coordinate nello spazio si ottiene considerando un piano α su cui si fissa un sistema di coordinate polari, con polo O e asse polare a. Sia P un punto dello spazio e P´ la sua proiezione ortogonale sul piano α. Se ρ e ϑ sono le coordinate polari di P´ nel piano α, il punto P può essere determinato dalla terna di numeri ρ, ϑ, z, dove z indica la misura orientata del segmento PP´. Questi tre numeri diconsi le coordinate cilindriche del punto P. Le coordinate polari del piano e dello spazio e le coordinate cilindriche sono esempi di coordinate curvilinee: si dice che nel piano è definito un sistema di coordinate curvilinee quando è assegnata una corrispondenza biunivoca e bicontinua tra i punti del piano e le coppie ordinate (u, v) di numeri reali. Se si considerano i punti del piano che hanno la u fissa e la v variabile e quelli che hanno invece la v fissa e la u variabile, si ottengono due famiglie di curve che diconsi linee coordinate. Ogni punto è allora individuato come intersezione di due curve di tali famiglie; nel caso delle coordinate ellittiche, una famiglia di curve è costituita da ellissi, l'altra da iperboli. Nel caso che queste linee siano delle rette, si riottengono le ordinarie coordinate cartesiane. Un altro tipo di coordinate curvilinee è costituito dalle coordinate bipolari definite come le distanze ρ e ρ´ di un punto P da due poli fissi. In alcuni problemi si usano come coordinate, invece di ρ e ρ´, (ρ+ρ´)/2 e (ρ-ρ´)/2. Il sistema delle linee coordinate per le coordinate bipolari è una schiera di coniche a centro confocali. In modo analogo si dice che nello spazio è assegnato un sistema di coordinate curvilinee se è definita una corrispondenza biunivoca e bicontinua tra i punti P dello spazio e le terne ordinate di numeri reali (u, v, w). Si dicono superfici coordinate i luoghi dei punti per cui è rispettivamente u=cost., v=cost., w=cost. Le linee coordinate, che sono, quindi, le intersezioni delle superfici coordinate di due sistemi diversi, costituiscono tre sistemi di linee. Per ogni punto P passano una superficie coordinate e una linea coordinate di ciascun sistema. § Se la retta, il piano o lo spazio ordinario vengono ampliati con l'aggiunta degli elementi impropri, punti all'infinito, rette all'infinito, le coordinate cartesiane non sono più atte a rappresentare questi nuovi elementi. Si elimina tale inconveniente introducendo le coordinate cartesiane omogenee. Precisamente, diconsi coordinate cartesiane omogenee, rispettivamente della retta, del piano, dello spazio, le coppie, le terne, le quaterne ordinate di numeri reali, definite a meno di un fattore di proporzionalità non nullo, che corrispondono biunivocamente ai punti della retta, del piano, dello spazio. La corrispondenza è biunivoca purché si tenga presente che, se al punto P, per esempio della retta, corrispondono le coordinate omogenee (x₀, x₁), allora gli corrispondono pure le coordinate omogenee (x₀k, x₁k), dove k è un numero diverso da zero. Nel piano l'equazione della retta in coordinate omogenee (x₀, x₁, x₂) è: a₀x₀+a₁x₁+a₂x₂=0. Una retta può quindi pensarsi individuata dalla terna di numeri (a₀, a₁, a₂), definita a meno di un fattore di proporzionalità non nullo, che diconsi coordinate plückeriane della retta. In generale, in uno spazio proiettivo a n dimensioni, S_n, se S_h è un sottospazio di dimensione h di S_n, si possono definire le coordinate di S_h. Presi infatti h+1 punti A₁, A₂,..., A⁺¹ che generano S_h, si consideri la matrice formata dalle coordinate omogenee di detti punti:

denoti con (i₁, i (articolo)..., i_h⁺¹) il determinante di ordine h+1 le cui colonne coincidono, rispettivamente, con la i₁-esima, ..., i_h⁺¹-esima colonna della matrice; i₁, ..., i_h⁺¹ sono h+1 dei numeri 0, 1,..., n. Questi determinanti, in numero di

, prendono il nome di coordinate plückeriane se h=1, di coordinate grassmanniane se h>1, del sottospazio S_h.