retìcolo (algebra)

insieme nel quale sono definite due operazioni binarie. Le operazioni del reticolo R sono l'unione e l'intersezione, per le quali useremo i simboli + e · (vengono spesso usati anche i simboli di cup=coppa, ∪, e di cap=cappa, ⋂ oppure i simboli ∨ e ∧). Tali operazioni godono, sia l'una sia l'altra, delle proprietà che elenchiamo in riferimento all'unione: proprietà commutativa: a+b=b+a; proprietà associativa:

proprietà di idempotenza: a+a=a; proprietà di assorbimento: a · (a+x)=a. Scambiando tra di loro + e ∤, si ottengono le proprietà cosiddette duali per l'intersezione, ·. Per la simmetria tra + e · nei postulati, vale in un reticolo un principio di dualità: se è vera una asserzione, è vera anche quella duale, cioè quella che da essa si ottiene scambiando + e ·. Un esempio classico di reticolo è quello formato dai sottoinsiemi a, b, ... di un insieme X rispetto alle operazioni di unione e intersezione nel senso degli insiemi. Il reticolo dei sottoinsiemi di X gode però di ulteriori proprietà; le due leggi distributive: a · (b+c)=a · b+a · c; a+b · c= (a+b) ·(a+c); l'esistenza di un minimo assoluto, 0 (nella fattispecie il sottoinsieme vuoto) e di un massimo assoluto, 1 (l'intero insieme X); l'esistenza per ogni a di un complemento a´, cioè di un elemento tale che: a+a´=1, a·a´=0. Per estensione della terminologia usata nella teoria degli insiemi si dice che un elemento A di un reticolo con massimo e minimo assoluto possiede un complemento se esiste un elemento B tale che l'unione di A e B è il massimo assoluto, la loro intersezione il minimo assoluto. Un reticolo nel quale ogni elemento possiede complemento si dice complementato. Tale è, per esempio, il reticolo degli insiemi rispetto all'unione e intersezione tra insiemi; esso anzi è univocamente complementato. Le proprietà aggiunte caratterizzano un'algebra di Boole, che si presenta nella logica matematica quando si interpretino a, b, ... ecc. come gli attributi, o le proposizioni, di un universo, + e · come i connettivi logici “o” ed “e”(o viceversa); il passaggio da a al complemento a´ come la negazione. In alcuni importanti reticoli (geometrici e algebrici), vale una legge distributiva debole, la legge modulare (o condizione di Dedekind): “se x≤z, allora x+y·z=(x+y)· z”. Si pone, in ogni reticolo, x≤z, se e solo se x+z=z, oppure, equivalentemente, x·z=x; si ottiene così un ordinamento parziale. Viceversa, se in un insieme parzialmente ordinato per ogni coppia di elementi vi sono un massimo confine inferiore e un minimo confine superiore (un massimo tra gli elementi che precedono i due, un minimo tra gli elementi che li seguono) essi definiscono una unione e una intersezione con le proprietà del reticolo sopra elencate. Formano reticoli i sottogruppi di un gruppo, i subanelli di un anello, i sottospazi di uno spazio (affine, proiettivo), ecc.