base (matematica)

Generalità

Termine usato in diverse accezioni, riferito a una famiglia di elementi di un insieme con struttura (algebrica, topologica o altro). A) Una base di uno spazio vettoriale V è una famiglia 0 di vettori di V linearmente indipendenti (tale cioè che, se una combinazione lineare di vettori di 0 è uguale al vettore nullo, allora tutti i coefficienti della combinazione lineare sono nulli) che generano tutto lo spazio vettoriale (ogni vettore può essere cioè espresso come combinazione lineare dei vettori della famiglia). Equivalentemente, una famiglia 0 di vettori si dice base dello spazio vettoriale se ogni vettore può essere espresso in uno e in un solo modo come combinazione lineare di vettori di 0. Consideriamo, per esempio, lo spazio vettoriale R² delle coppie di numeri reali con le usuali operazioni di somma e di moltiplicazione per un numero reale. Una base di R² è data da due qualsiasi vettori non nulli che non siano proporzionali. I vettori (1,0) e (0,1) sono, per esempio, una base. Tale base viene detta base canonica. Si definisce in modo analogo la base canonica dello spazio vettoriale Rⁿ delle n-ple di numeri reali con le usuali operazioni di somma e di moltiplicazione di un numero reale: gli n vettori della base canonica di Rⁿ sono le n-ple di numeri reali tutti uguali a 0 escluso uno che è uguale a 1. Si può dimostrare che se uno spazio vettoriale V è dotato di una base formata da n vettori, allora ogni altra base di V è formata da n vettori. Tale numero n viene detto dimensione dello spazio vettoriale V. B) Si definisce in modo analogo la base di un gruppo libero. L'unica differenza è che le combinazioni lineari hanno ora come coefficienti i soli numeri interi. C) Base di un fascio di curve algebriche piane sono due curve del fascio tali che l'equazione di ogni curva del fascio si ottiene come combinazione lineare delle equazioni delle due curve di base. I punti di intersezione delle due curve di base si chiamano punti base del fascio; per essi passano tutte le curve del fascio. D) In uno spazio topologico X, una famiglia 0 di aperti di X si dice base per la topologia di X se ogni aperto di X è unione di aperti appartenenti a 0. Equivalentemente, 0 è una base per la topologia se per ogni punto p di X appartenente a un aperto A esiste un aperto di 0 che contenga p e che sia contenuto in A. Nello spazio topologico R dei numeri reali con la usuale topologia, una base è data da tutti gli intervalli aperti. Analogamente i dischi aperti formano una base per la topologia usuale di R². Un'altra base per la topologia usuale di R² è data dai rettangoli aperti. E) Dato un punto p di uno spazio topologico X, si definisce base locale in p una famiglia 0 di aperti contenenti p tali che per ogni aperto A contenente p esiste un aperto di 0 contenuto in A. Dato, per esempio, un punto p di R con la usuale topologia, una base locale in p è data da tutti gli intervalli aperti (p-δ, p+δ). Analogamente una base locale in un punto p di R² con la usuale topologia è data da tutti i dischi aperti di centro p.

Algebra elementare

Base di una potenza è quel numero che deve essere moltiplicato per se stesso nell'operazione di elevamento a potenza; per esempio, in aⁿ, a è la base. In questo senso, base di un sistema di numerazione è il numero secondo le cui potenze vengono scomposti i numeri naturali; per esempio, nella numerazione decimale, i numeri vengono scomposti secondo le potenze di 10:

La base di un sistema di numerazione è uguale al numero di simboli disponibili per scrivere i numeri. Nella numerazione in basi 10, per esempio, sono disponibili i 10 simboli 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Nella numerazione in basi 2 (detta anche numerazione binaria), sono disponibili solamente i due simboli 0 e 1. Il numero 26 nel sistema di numerazione in basi 2 viene rappresentato dal simbolo 11010; si ha infatti:

Base di un sistema di logaritmi è la base delle potenze che con il loro esponente danno i logaritmi dei numeri; per esempio, il logaritmo in base 10 di 100 è 2, perché 10²=100.

Geometria elementare

Base di un triangolo,base di un poligono, uno qualsiasi dei lati del triangolo o del poligono; in particolare, il termine è spesso usato per indicare quel lato che sta in basso rispetto all'osservatore. Base di un prisma, base di un cono,base di un solido, la faccia sulla quale poggia il prisma, il cono, il solido. Più in particolare, in un triangolo isoscele per base si intende talvolta quel lato che è diverso dagli altri due; in un triangolo isoscele gli angoli alla base sono uguali. Per un trapezio, inoltre, sono dette basi i due lati paralleli: base maggiore o inferiore, base minore o superiore.

Statistica

Base dei numeri indici è il termine di una successione di valori di una grandezza semplice al quale vengono rapportati gli altri termini della successione. La base viene detta fissa oppure mobile a seconda che essa sia fissata una volta per tutte o che sia fissata di volta in volta.