gruppo (algebra)

Generalità

Si definisce gruppo un insieme G dotato di operazione binaria che verifica alcune proprietà. Un'operazione binaria è una legge che associa a ogni coppia g, g' di elementi di G un elemento di G. Tale operazione è a priori qualunque, e il simbolo con il quale si indica l'elemento associato alla coppia g, g' è arbitrario. Le due notazioni più frequenti sono la notazione moltiplicativa (g∤g' o semplice giustapposizione: gg') e quella additiva (g+g'). Le proprietà che devono essere verificate sono tre: A) l'operazione deve essere associativa; nel caso in cui si usi la notazione moltiplicativa, si deve cioè avere (g∤g')∤g‟=g∤(g'∤g‟) per ogni terna g, g', g‟di elementi di G. B) Deve esistere in G un elemento, che indichiamo con u, tale che, per ogni elemento g di G si abbia, in notazione moltiplicativa, u∤g=g∤u=g. Tale elemento viene detto elemento neutro o unità del gruppo. C) Dato un qualsiasi elemento g di G, esiste un elemento g' di G tale che, usando la notazione moltiplicativa, si abbia g∤g'=g'∤g=u. Tale elemento g' viene detto inverso di g e viene indicato con g^-1. Da queste proprietà si deduce che per ogni coppia di elementi g, g' di un gruppo G esiste uno e un solo elemento x di G che verifichi l'equazione g∤x=g'. Analogamente l'equazione y∤g=g' ha una e una sola soluzione. Dalle tre proprietà di gruppo derivano inoltre le regole di cancellazione: se g∤g'=g∤g‟, allora g'=g‟ (cancellazione sinistra); se g'∤g=g‟∤g, allora g'=g‟ (cancellazione destra). Esempi elementari di gruppo sono: A) L'insieme dei numeri reali positivi con l'operazione di moltiplicazione. L'elemento neutro è il numero 1; l'inverso dell'elemento g è il suo reciproco 1/g; B) l'insieme dei numeri reali con l'operazione di addizione. L'elemento neutro è adesso il numero 0, l'inverso di g è il suo opposto -g. Un gruppo si dice commutativo o abeliano se l'operazione ha la proprietà commutativa; si ha cioè g∤g'=g'∤g per ogni coppia g, g' di elementi di G. I due gruppi visti sopra sono abeliani. Esistono però gruppi non abeliani. Per essi esiste qualche coppia di elementi g, g' di G tali che si abbia g∤g'≠g'∤g. Per esempio, l'insieme delle matrici quadrate invertibili di ordine n a elementi reali con l'operazione di moltiplicazione righe per colonne è un gruppo non abeliano. Un'importante classe di gruppi non abeliani è quella dei gruppi delle sostituzioni (o trasformazioni). Dato un insieme I, finito o infinito, una sostituzione di I è una corrispondenza biunivoca dell'insieme I in se stesso. Il gruppo delle sostituzioni di I ha come operazione la composizione. Se I è un insieme formato da n elementi, il gruppo delle sostituzioni di I è composto da n! (n fattoriale) elementi e viene chiamato gruppo simmetrico. Per n maggiore di 2, esso non è abeliano. Se come insieme I si assume l'insieme dei punti di un piano o di uno spazio a tre dimensioni, hanno grande importanza alcuni sottogruppi del gruppo totale delle sostituzioni su I, quelli geometrici: il gruppo delle trasformazioni biunivoche e bicontinue, il gruppo proiettivo, il gruppo affine, il gruppo delle similitudini, il gruppo dei movimenti. Essi sono i gruppi fondamentali, rispettivamente della topologia, della geometria proiettiva, affine, metrica (programma di Erlangen). Studiando i gruppi delle sostituzioni di particolari figure geometriche piane o spaziali, E. S. Fëdorov negli anni 1885-89 e A. Schönflies nel 1891 hanno classificato i cristalli (vedi anche cristallografia).

La teoria dei gruppi

La teoria dei gruppi ha avuto origine, nei primi decenni del sec. XIX, come studio dei gruppi di sostituzione sulle radici di un'equazione algebrica, in relazione al problema della risolubilità di un'equazione per radicali. Dopo alcuni risultati parziali di J. L. Lagrange, K. F. Gauss, N. H. Abel, il problema fu completamente risolto da E. Galois: la risposta è di carattere gruppale, implicando proprietà del gruppo di Galois dell'equazione. Lo studio dei gruppi di trasformazioni, in particolare dei gruppi di sostituzioni su n elementi, è oggi un ampio capitolo, in pieno sviluppo, della teoria generale dei gruppi. Nello studio di un gruppo G di sostituzioni su un insieme I, entra in gioco il modo di operare degli elementi di G sull'insieme I. A ogni elemento a di I corrisponde un'orbita, cioè il sottoinsieme di I costituito dagli elementi nei quali a è portato da qualche elemento di G. Se I è costituito da un'unica orbita, G si dice transitivo su I; in particolare, G è semplicemente transitivo su I se, dati comunque a e b in I, esiste una e una sola sostituzione di G che porta a in b. Uno dei concetti fondamentali della teoria dei gruppi è il concetto di isomorfismo. Un isomorfismo tra due gruppi G e H è una corrispondenza biunivoca φ tra G e H che conserva le operazioni dei due gruppi; cioè per ogni coppia g, g' di elementi di G si ha, usando per ambedue i gruppi la notazione moltiplicativa,

Si perviene insomma allo stesso risultato sia che prima si esegua l'operazione in G e poi si trovi il corrispondente in H del risultato, sia che, invece, si passi prima ai corrispondenti degli elementi di G e poi si esegua l'operazione tra tali corrispondenti in H. Un esempio di isomorfismo tra il gruppo dei numeri reali positivi con l'operazione di moltiplicazione e il gruppo dei numeri reali con l'operazione di addizione è dato dalla funzione che associa a ogni numero reale positivo il suo logaritmo. Questa funzione è una corrispondenza biunivoca che conserva le operazioni; si ha infatti

gruppi legati da un isomorfismo si dicono isomorfi. Due gruppi isomorfi hanno la stessa struttura e quindi sono formalmente identici, in quanto si passa dall'uno all'altro con un semplice cambiamento dei nomi degli elementi e dell'operazione. Si chiama gruppo astratto la classe formata da tutti i gruppi isomorfi a un gruppo dato, e quindi isomorfi tra loro: ogni gruppo appartenente alla classe è un rappresentante, o modello, del gruppo astratto. Da questo punto di vista, l'importanza dei gruppi di trasformazioni è illustrata dal fatto che ogni gruppo astratto ha come suo rappresentante un gruppo di trasformazioni (teorema di rappresentazione di Cayley). La classificazione dei gruppi astratti è un problema assai arduo, lontanissimo da una soluzione anche nel caso dei gruppi finiti, cioè costituiti da un numero finito di elementi. Il problema della classificazione è invece pienamente risolto per i gruppi abeliani finiti. Nel caso non-abeliano, per introdurre una certa scala di complessità di struttura, occorre prendere in considerazione i sottogruppi di G, in particolare i suoi sottogruppi normali (o invarianti). Un sottoinsieme S di G si dice un sottogruppo se costituisce esso stesso un gruppo rispetto all'operazione definita in G; si dice poi che S è normale, o invariante, o caratteristico, se, insieme a ogni suo elemento s, contiene tutti i suoi coniugati: g^-1∤s∤g, con g qualunque in G. Un gruppo G si dice semplice se è privo di sottogruppi normali non banali, diversi cioè da G stesso e dal sottogruppo costituito dal solo elemento neutro (i quali sono sempre normali). Il problema della classificazione dei gruppi semplici, anche nel caso finito, è aperto e appare arduo: è stata però dimostrata vera la congettura secondo la quale gruppi semplici finiti hanno necessariamente ordine pari, escludendo il caso banale dei gruppi di ordine primo, cioè costituiti da p elementi, con p primo, i quali sono ciclici, cioè formati dalle potenze x, x²,..., x^p=neutro, di un unico elemento x. Se G possiede un sottogruppo normale, N, si può passare al gruppo-quoziente G/N; esso è costituito dalle classi bilaterali, g∤N=N∤g, nelle quali N decompone G. Se N a sua volta possiede un sottogruppo normale N₁, e così via, si può costruire una catena di sottogruppi, ciascuno normale nel precedente. Analogo procedimento si può seguire utilizzando i gruppi derivati successivi, cioè i sottogruppi generati dai commutatori, ovvero dagli elementi deltipo: a∤b∤a^-1∤b^-1. Catene siffatte servono, per così dire, a misurare il grado di complessità della struttura di un gruppo. Particolarmente importante è la classe dei gruppi risolubili, cioè quella dei gruppi tali che la catena dei derivati successivi (serie derivata) finisce con il sottogruppo identico, cioè con quello formato dal solo elemento neutro.