insième (matematica)

collezione, o classe, o aggregato di elementi che solitamente si individuano elencandoli o assegnando loro una proprietà caratteristica. La definizione data da G. Cantor del concetto di insieme è la seguente: “ogni insieme è la raccolta in una totalità M di oggetti m determinati, ben distinti tra di loro, della nostra intuizione o del nostro pensiero”. Gli oggetti m vengono chiamati gli elementi di M; per indicare che m è elemento di M si usa il simbolo di appartenenza ∊ introdotto da G. Peano, scrivendo: m ∊ M. La relazione di appartenenza, di un elemento a un insieme, è da tenere ben distinta dalla relazione di inclusione tra insiemi. Se un insieme N è incluso in un insieme M (è una parte o sottoinsieme di M), cioè se ogni elemento di N è anche elemento di M, allora si adopera il simbolo di inclusione ⊆ e si scrive: N ⊆ M (se si scrive N ⊂ M si intende che N è sottoinsieme di M, cioè che esistono elementi di M non appartenenti a N). La moderna teoria degli insiemi fu fondata da G. Cantor, sviluppando quella che si chiama la teoria ingenua degli insiemi. Un insieme M è da ritenersi definito quando si abbia un criterio per riconoscere se un oggetto è suo elemento oppure no: un insieme è insomma definito dalla sua estensione; insiemi equiestesi, cioè con gli stessi elementi, sono uguali. Dal principio di equiestensione discende, in particolare, l'unicità dell'insieme vuoto (simbolo ø); esiste cioè un unico insieme privo di elementi. Per precisare quali elementi appartengono a un insieme M e quali non vi appartengono, ci sono due procedimenti possibili: l'enumerazione completa degli elementi di M, oppure l'enunciazione di una proprietà che caratterizza gli elementi dell'insieme. Il primo procedimento non lascia adito a dubbi, ma è praticabile soltanto per insiemi finiti, cioè con un numero finito di elementi, ed è già molto scomodo per un insieme con un numero grande di elementi (insieme dei cittadini di Roma, o delle stelle della Galassia). Nel caso di insiemi infiniti, la caratterizzazione degli elementi deve essere fatta mediante una proprietà comune (definizione per comprensione), per esempio quella di essere un numero pari, o un punto di una data circonferenza, e così via. Ora, l'ingenuità della teoria classica degli insiemi consiste nel fatto di accettare senza limitazioni ogni possibile proprietà come atta a definire un insieme; è questo il principio di comprensione illimitato, usato da G. Cantor e poi da G. Fregeche negli ultimi decenni del sec. XIX tentò una prima fondazione sistematica della matematica. B. Russell, in una famosa lettera a G. Frege del 1902, dimostrò per primo che una proprietà, nella fattispecie la proprietà di un insieme di non possedere se stesso come elemento, può condurre a contraddizioni, se la si suppone atta a definire un insieme come totalità degli elementi che la verificano. Con la scoperta di questa e di altre antinomie logiche, derivanti da un uso illimitato del principio di comprensione, la teoria ingenua degli insiemi entrò in crisi, e con essa la matematica tutta (periodo della crisi dei fondamenti). Dalle antinomie si esce ponendo qualche restrizione, più o meno forte, della costruzione di insieme come totalità di elementi che verificano una data proprietà. Si passa così dalla teoria ingenua alla teoria assiomatica degli insiemi, della quale sono state elaborate due versioni: la teoria di Zermelo-Fraenkel e quella di von Neumann, di Gödel e di Bernays. Mentre nella prima si vieta di raccogliere mentalmente in una totalità tutti gli oggetti che verificano una delle proprietà che danno luogo alle antinomie, nella seconda si accettano tali totalità, con il nome di classi proprie, da distinguere dagli insiemi. L'idea soggiacente è che totalità molto grandi, per esempio la classe totale di Cantor (che ha per elementi tutti gli insiemi), esistano, ma non possano a loro volta essere considerate come elementi di nuove totalità, così come accade invece per le classi alle quali si riserva il nome di insiemi. Da quanto detto si vede come lo sviluppo della teoria degli insiemi sia legato a importanti questioni logiche e filosofiche, in particolare alle questioni collegate al concetto di infinito. G. Cantor estese il concetto di numero cardinale, o potenza, agli insiemi anche infiniti, chiamando equipotenti due insiemi I e I´ che possano essere posti in corrispondenza biunivoca: gli elementi di I sono cioè tanti quanti gli elementi di I´. Dati due insiemi, I e I´, si dimostra che si presenta uno, e uno soltanto, dei tre casi seguenti: I e I´ sono equipotenti; I è equipotente con un sottoinsieme di I´, ma non con I´ stesso, nel qual caso si dice che la cardinalità di I è inferiore a quella di I´; I´ ha cardinalità inferiore a I (si scambino I e I´ nelle ipotesi precedenti). Cantor dimostrò che l'insieme delle parti di un insieme I (detto il booleano di I), cioè l'insieme che ha per elementi tutti e soli i sottoinsiemi di I, ivi inclusi I stesso e l'insieme vuoto, ha potenza superiore a I; pertanto, è possibile costruire insiemi di potenza via via crescente. La cardinalità infinita più bassa è quella del numerabile, cioè la potenza dell'insieme N dei naturali. Si chiama potenza del continuo la cardinalità dell'insieme delle parti dei naturali, che è poi quella dei numeri reali. L'ipotesi del continuo è l'asserzione che non esistono cardinalità intermedie tra il numerabile e il continuo. Nel 1964, P. Cohen ha dimostrato che se la teoria assiomatica di Zermelo-Fraenkel è non contraddittoria con l'aggiunta dell'ipotesi del continuo, lo è anche con l'aggiunta della negazione di essa (indipendenza dell'ipotesi del continuo dagli assiomi di Zermelo-Fraenkel). Si tratta, in un certo senso, dell'ultimo e più clamoroso tra i cosiddetti paradossi dell'infinito. Anche una teoria degli ordinali può essere sviluppata nell'ambito della teoria degli insiemi. Tra i sottoinsiemi di un insieme I si introducono in modo naturale le operazioni di intersezione (insieme degli elementi comuni a due sottoinsiemi, che può essere eventualmente l'insieme vuoto), di unione (insieme degli elementi che appartengono ad almeno uno di due sottoinsiemi), di passaggio all'insieme complementare di un sottoinsieme (insieme degli elementi di I che non appartengono all'insieme dato). Si tratta delle operazioni che corrispondono ai connettivi logici, “e”, “o” (alternativa), “non”. Rispetto a tali operazioni, l'insieme delle parti di un insieme è un'algebra di Boole, struttura algebrica che rientra nella classe dei reticoli. § Funzione caratteristica di un insieme S appartenente a un dato insieme I è la funzione F(P), con P∊I, tale che F=1 per P appartenente a S e F=0 per P non appartenente a S.

Bibliografia

G. Cantor, Sur les fondements de la théorie des ensembles trasfinis, Parigi, 1899; idem, Gesammelte Abhandlungen matematischen und philosophischen Inhalts, Berlino, 1932; N. Bourbaki, Théorie des ensembles, Parigi, 1964; P. Bernays, A. Fraenkel, Axiomatic Det Theory, Amsterdam, 1958; T. Viola, Introduzione alla teoria degli insiemi, Torino, 1965.