gruppi, teoria dei

Con questo termine si indica la branca della matematica che si occupa dello studio dei gruppi, ovvero di una struttura algebrica caratterizzata da un'operazione binaria associativa, dotata di elemento neutro e per la quale ogni elemento della struttura possiede un elemento inverso. La teoria dei gruppi nasce sulle basi della teoria dei numeri, delle equazioni algebriche e della geometria. Se la teoria dei numeri in epoca moderna è stata avviata da Eulero, i primi risultati sui gruppi furono ottenuti da Lagrange, Ruffini e Abel nella loro ricerca delle soluzioni generali delle equazioni polinomiali di grado alto. Galois coniò il termine "gruppo" e stabili una connessione, ora nota come teoria di Galois, tra la nascente teoria dei gruppi e la teoria dei campi. In geometria i gruppi si affermano prima nella geometria proiettiva e in seguito in quella non euclidea - secondo il programma di Erlangen di Felix Klein essi sono alla base di questa disciplina. Solo a partire dal 1880 l’uso dei gruppi per le equazioni polinomiali e per la geometria vennero unificati in un’unica teoria che da allora ha avuto un impatto scientifico via via maggiore, originando all’inizio del Novecento l’algebra astratta e la teoria delle rappresentazioni. La definitiva idea di "gruppo" come insieme dotato di una determinata struttura algebrica fu elaborata negli anni Venti da E. Noether. Dagli anni Sessanta è iniziato uno studio sistematico dei gruppi semplici finiti non commutativi: un teorema dimostrato da W. Feit e J.G. Thompson (1963) ha stabilito che ogni gruppo semplice finito non abeliano è di ordine pari e ogni gruppo finito di ordine dispari è risolubile. La struttura dei gruppi infiniti è invece ancora oggetto di ricerca. La comprensione della teoria dei gruppi è importante anche nelle scienze fisiche. In chimica, i gruppi vengono utilizzati per classificare strutture cristalline, poliedri regolari e simmetria molecolare. In fisica i gruppi riescono a descrivere le simmetrie alle quali le leggi della fisica sembrano ubbidire. I fisici sono profondamente interessati alle rappresentazioni dei gruppi, specialmente alle rappresentazioni dei gruppi di Lie (ruppi di trasformazioni geometriche dipendenti con continuità da un numero finito di parametri reali), in quanto spesso segnano la strada delle teorie fisiche "possibili".

Con il termine si indica tradizionalmente quel ramo della matematica pura che si occupa dello studio delle proprietà dei numeri interi; spesso per definire la teoria dei numeri viene impiegato anche il termine "aritmetica" (da non confondersi con la branca della logica che studia l’aritmetica intesa come sistema formale). Essa nasce dai problemi di aritmetica connessi con la moltiplicazione e la divisione dei numeri naturali. Già conosciuta presso gli antichi greci (significativi in tal senso gli studi di Diofanto, Euclide, Eratostene), la teoria dei numeri tornò ad affermarsi nel XVI secolo nelle opere di Viète, Bachet de Méziriac e Pierre de Fermat. Nel Settecento furono Leonhard Euler (Eulero) e Lagrange a dare i contributi più significativi alla teoria. Proprio da una lettera inviata a Eulero dall’amico Goldbach nasce uno dei problemi tuttora irrisolti della teoria dei numeri: la congettura di Goldbach. La disciplina assunse forma scientifica alla fine del secolo grazie ai lavori di Legendre e in particolare di Gauss (Disquisitiones Arithmeticae, 1801). Fu il matematico tedesco Dirichlet (1805-1859), al quale si deve la moderna definizione formale di funzione, a tenerne i primi corsi universitari. Nella teoria dei numeri elementare gli interi sono studiati senza l'uso di tecniche provenienti da altri settori della matematica. Fanno parte di questa branca le questioni di divisibilità, l’algoritmo di Euclide, lo studio dei numeri perfetti e le congruenze. Tipiche asserzioni sono il piccolo teorema di Fermat e il teorema di Eulero. La teoria dei numeri si occupa anche delle proprietà dei vari sistemi algebrici che generalizzano gli interi, in particolare degli anelli di interi dei corpi di numeri algebrici. Questi sistemi algebrici emergono in modo naturale nello studio di molti problemi concernenti gli interi stessi. Alcuni problemi relativi alla teoria dei numeri elementare sono particolarmente complessi e allo stato attuale richiedono nuove idee per essere risolti. Tra XIX e XX secolo la teoria dei numeri è andata definendosi sempre più come un insieme di settori sempre più sistematici e specialistici, non sempre comunicanti tra loro. La teoria dei numeri è oggi una delle branche più importanti della matematica e riguarda problemi che coinvolgono molti altri settori. Caratteristica della teoria dei numeri è la comprensibilità della maggior parte dei problemi che vi si pongono anche da parte di non specialisti, cui però corrisponde una grande difficoltà di risoluzione.