Lie, Marius Sophus

matematico norvegese (Nordfjordeid 1842-Cristiania, oggi Oslo, 1899). Nel corso di ricerche sulle equazioni differenziali, elaborò la teoria dei gruppi continui di trasformazione (1873). Introdusse in tale teoria un particolare anello, detto anello di Lie la cui trattazione sistematica ha dato luogo alle cosiddette algebre di Lie.

Gruppi di Lie

Gruppi di trasformazioni geometriche dipendenti con continuità da un numero finito di parametri reali. Gruppi di Lie sono quindi gli ordinari gruppi di trasformazioni lineari (gruppo dei movimenti, delle affinità, delle proiettività di spazi a due, a tre, a più dimensioni); anzi, per un risultato abbastanza recente, tutti i gruppi continui che dipendono da un numero finito di parametri sono isomorfi ai gruppi lineari classici e a loro sottogruppi.

Anelli e algebre di Lie

Nella teoria sviluppata da Lie sui gruppi di trasformazioni lineari, ha grande importanza l'operazione: (X, Y)=X∤Y-Y∤X, dove X, Y indicano le matrici associate alle trasformazioni in un riferimento dato. Rispetto a tale operazione, e all'ordinaria addizione, le dette matrici formano un'algebra di Lie, cioè uno spazio vettoriale con una moltiplicazione (non associativa) verificante le proprietà: X²=0 per ogni X; X∤(Y∤Z)+Y∤(Z∤X)+ +Z∤(X∤Y)=0, quali che siano X, Y, Z. Si chiamano per estensione anelli di Lie tutti gli anelli (non associativi) verificanti le due identità polinomiali sopra scritte.