Lagrange, Giusèppe Luigi

matematico di origine francese (Torino 1736-Parigi 1813). Nominato (1755) docente di matematica alla scuola d'artiglieria di Torino, fondò (1757) con G. Saluzzo e G. Cigna una società di ricerche scientifiche da cui ebbe origine l'Accademia Reale delle Scienze di Torino. Sono di quegli anni i suoi contributi alla teoria dei massimi e dei minimi dai quali ha preso origine il calcolo delle variazioni. Nel 1766, su proposta di Eulero e D'Alembert, fu chiamato da Federico II di Prussia a dirigere l'Accademia di Berlino, città in cui Lagrange trascorse circa vent'anni tra i più fecondi per la sua attività scientifica. Alla morte di Federico II accettò l'invito di Luigi XVI a trasferirsi a Parigi (1787) dove rimase fino alla morte. Il grande prestigio di cui godeva si mantenne inalterato anche durante la Rivoluzione conservando emolumenti e cariche; presiedette la Commissione per l'introduzione del sistema metrico decimale e nel 1797 divenne professore all'École Polytechnique allora fondata. Anche il regime napoleonico lo colmò di onori nominandolo senatore, grand'ufficiale della Legion d'onore e conte dell'Impero. Ebbe sepoltura al Panthéon. Autore fecondissimo, lasciò una produzione di vasta mole riguardante vari campi della matematica e della meccanica celeste. Nel 1788 pubblicò la Mécanique analitique, la sua opera maggiore, dove nell'ambito di una concezione illuministica, di cui Lagrange subì sempre l'influenza, si propose di dare uno sviluppo sistematico della meccanica in termini puramente analitici, servendosi del calcolo variazionale come tema centrale e unificatore. Nella Théorie des fonctions analytiques (1797) e in Leçons sur le calcul des fonctions (1806) elaborò particolarmente il metodo di studio delle funzioni attraverso lo sviluppo in serie di potenze. Importanti anche i suoi lavori sulla soluzione delle equazioni indeterminate di primo e secondo grado, cui applicò la teoria delle frazioni continue, e quelli sulle equazioni differenziali lineari. Introdusse nella meccanica celeste l'uso delle derivate e studiò il moto di librazione della Luna, nonché le perturbazioni del moto dei pianeti e le loro cause: in suo onore i cinque punti di instabilità nel problema ristretto dei tre corpi si chiamano appunto lagrangiani. § Condizione di Lagrange-Airy, sinonimo di condizione di ortoscopia. § Per i moltiplicatori di Lagrange, vedi massimi e minimi; per le formule di interpolazione di Lagrange, vedi interpolazione.

Invariante di Lagrange-Helmholtz

In un sistema diottrico centrato , il prodotto costante ndα. Se, per esempio, in un diottro sferico, n₁ e n₂ sono gli indici di rifrazione dei due mezzi, d₁ e d₂ sono le dimensioni di oggetto e immagine (rappresentate in figura con le frecce), α₁ e α₂ sono gli angoli formati dai raggi passanti per i fuochi e per i vertici dell'oggetto e dell'immagine, allora si ha: n₁d₁α₁=n₂d₂α₂.

Relazioni di d'Alembert e Lagrange

È la cosiddetta relazione simbolica della dinamica, valida per ogni sistema formato da N punti materiali P₁,P₂,...,P comunque vincolati:

,

dove F è il risultante delle forze attive agenti sul generico punto materiale P, m_i la massa di P e a la sua accelerazione. Quando i vincoli del sistema sono bilateri, la relazione vale con il segno di uguaglianza e diviene la cosiddetta equazione simbolica della dinamica. Per i sistemi olonomi, per sistemi, cioè, i cui vincoli sono rappresentabili analiticamente con un certo numero di relazioni indipendenti espresse in termini finiti, dall'equazione simbolica della dinamica si ricavano le equazioni del moto, dette appunto equazioni di Lagrange; queste hanno espressione abbastanza complessa e sono importanti solo per alcuni tipi di problemi. Contengono un numero sovrabbondante di incognite rispetto al numero dei gradi di libertà del sistema, poiché in esse compaiono anche coordinate non libere, cioè non indipendenti tra loro. Per descrivere in modo più sintetico un sistema olonomo soggetto a vincoli lisci bilateri avente n gradi di libertà, si possono introdurre n coordinate libere, dette anche coordinate lagrangiane: q₁,q₂,...,q_n. Il generico punto P del sistema è una funzione conosciuta di queste coordinate e, se i vincoli sono mobili, del tempo t. Dall'equazione simbolica della dinamica si ricavano le equazioni di moto del sistema, dette equazioni di Lagrange nella seconda forma, per distinguerle da quelle precedenti, dette nella prima forma. A esse generalmente ci si riferisce quando si parla semplicemente di equazioni di Lagrange; esse sono:

dove T è l'energia cinetica del sistema e Q_k è la componente della sollecitazione attiva secondo la coordinata libera q_k. Nel caso particolarmente importante in cui la sollecitazione attiva sia posizionale e conservativa, cioè dove U=U(q₁,q₂,...,q_n) rappresenta il potenziale, le equazioni di Lagrange diventano

La somma dell'energia cinetica e del potenziale L=L(q||t)=T+U viene chiamata funzione di Lagrange: introducendo tale funzione, le equazioni di Lagrange assumono la forma:

Questo sistema è differenziale del secondo ordine e può trasformarsi in infiniti modi in un sistema formato da 2n equazioni differenziali del primo ordine in 2n funzioni incognite del tempo; una classica trasformazione è quella di Hamilton in cui si assumono come incognite accanto alle n coordinate libere q₁, q₂,..., q_n gli n momenti cinetici

e si introduce la funzione di Hamilton

il sistema precedente può venire così trasformato:

Quest'ultimo sistema è detto canonico o hamiltoniano ed è costituito da 2n equazioni del primo ordine nelle 2n variabili canoniche p e q ed è costruito con le derivate della funzione di Hamilton. È particolarmente importante il significato fisico dell'hamiltoniana, quando i vincoli sono fissi, in quanto essa rappresenta l'energia totale del sistema, somma dell'energia cinetica e dell'energia potenziale H=T-U. Se i vincoli sono fissi e H non dipende in modo esplicito dal tempo si ha: H(p|q)=costante (integrale dell'energia); la stessa relazione vale anche se i vincoli non sono fissi e H non dipende esplicitamente dal tempo.

Teoremi di Lagrange

A) In aritmetica: ogni numero intero positivo può essere espresso come somma dei quadrati di quattro interi. Per esempio si ha:

B) In teoria delle congruenze:conseguenza

con a_0≢0 (mod p) e p numero primo ha al massimo n soluzioni. C) In teoria dei gruppi: dato un gruppo formato da un numero n di elementi, ogni suo sottogruppo è formato da un numero di elementi che è divisore di n. Non è vero il viceversa. Esistono cioè gruppi con pq di elementi per i quali non esiste un sottogruppo con p elementi. D) In analisi matematica, teorema del valor medio: per una funzione y=f(x), derivabile nell'intervallo [a, b], esiste nell'intervallo [a, b] un punto γ per il quale si ha:

.