Laplace, Pierre-Simon de-

astronomo e matematico francese (Beaumont-en-Auge 1749-Parigi 1827). Godendo della protezione di J.-B. d'Alembert, fu nominato professore di matematica alla scuola militare di Parigi, quindi membro (1773) dell'Accademia delle Scienze, di cui nel 1796 divenne presidente; lo stesso anno ebbe la cattedra di matematica all' École Normale Supérieure, dove fu collega di G. L. Lagrange. Ambizioso e tenace, divenne uno dei maggiori scienziati della sua epoca e partecipò anche attivamente alla vita politica, dove dimostrò uno spiccato opportunismo e capacità di conformarsi alle più contrastanti situazioni: fu amico e consigliere di Napoleone, che lo nominò ministro degli Interni (1799), poi senatore e cancelliere del Senato (1803), nonché conte dell'Impero (1806); tuttavia nel 1814 non esitò a schierarsi con Luigi XVIII, che lo fece marchese e pari di Francia. Assai noto è il suo intervento alla Camera dei Pari (1819) a favore della soppressione del lotto, giudicato dannoso in quanto favorirebbe ogni genere di superstizioni. I suoi maggiori risultati, conseguiti nel campo della meccanica celeste e della matematica, riguardano la spiegazione delle perturbazioni secolari delle distanze dei pianeti dal Sole e la conseguente dimostrazione della stabilità del sistema planetario; l'introduzione delle equazioni lineari alle derivate parziali (equazioni di Laplace), al cui studio fu condotto da un problema concernente la teoria dell'anello di Saturno. Nel 1796 pubblicò l'Exposition du systhème du monde (Esposizione del sistema del mondo), opera di alta divulgazione astronomica, nella quale è esposta la celebre ipotesi nebulare circa la formazione del sistema solare (vedi cosmogonia). Tra il 1799 e il 1825 apparvero i cinque volumi della Mécanique céleste (Meccanica celeste), una summa, dal punto di vista del contenuto e da quello metodologico, delle ricerche sue e dei suoi predecessori su argomenti di fisica e di meccanica, mirante a ricondurre la spiegazione di ogni fenomeno nell'ambito della teoria della gravitazione universale. Altrettanto notevoli furono i suoi studi sul calcolo delle probabilità: nel 1812 pubblicò la Théorie analytique des probabilités (Teoria analitica delle probabilità), dove affrontò in particolare il problema della media più conveniente tra varie osservazioni; due anni più tardi pubblicò una seconda edizione di quest'opera dal titolo Essai philosophique sur les probabilités (Saggio filosofico sulle probabilità), che contiene nell'introduzione uno studio critico sul significato e sui compiti della teoria della probabilità attraverso il quale pervenne a dare un'interpretazione in termini puramente meccanicistici dell'intero universo, concepito come un tutto unico di cui ogni parte sarebbe legata alle altre da nessi causali infrangibili. Gli si devono inoltre importanti studi di fisica-matematica (elettromagnetismo, capillarità), nonché le regole fondamentali per il calcolo del determinante di una matrice quadrata.

Equazioni di Laplace

Sono le equazioni lineari alle derivate parziali di secondo ordine ottenute uguagliando a zero il laplaciano, od operatore di Laplace, della funzione considerata; le funzioni che sono soluzioni di queste equazioni sono dette armoniche.

Leggi elementari di Laplace

Sono le due seguenti leggi dell'elettromagnetismo: A) un elemento di conduttore di lunghezza dl percorso da una corrente i crea in un punto A dello spazio circostante un campo magnetico elementare di intensità dH dato dalla relazione: dH=idlsinϑ/4πr² in cui ϑ è l'anello formato dalla retta tra A e dl e la direzione di dl. Il campo è diretto secondo la normale al piano passante per A e per dl. B) Un elemento di conduttore dl percorso da una corrente i e immerso in un campo magnetico di induzione B è soggetto a una forza meccanica df data dadf=idlBsinϑ. Il verso della forza è deducibile dalla legge espressa in forma vettoriale:

.Dall'integrazione delle leggi elementari di Laplace si ritrovano leggi sperimentali, come la legge di Biot e Savart e i principi di equivalenza di Ampère.

Regola di Laplace

Regola usata per calcolare il determinante di una matrice quadrata: metodo di calcolo del determinante spesso chiamato sviluppo del determinante secondo una riga (o una colonna) della matrice.

Trasformazione di Laplace

Data una funzione f(t) della variabile reale t definita per ogni valore t≥0 e integrabile in ogni intervallo limitato 0≤t≤T, si chiama trasformazione di Laplace la corrispondenza che associa alla f(t) la funzione

, dovee è la base dei logaritmi naturali e p=x+iy è una variabile complessa. L'integrale a secondo membro è detto integrale di Laplace; se tale integrale esiste la funzione f(t) si dice trasformabile e la φ(p), indicata spesso con il simbolo / (f(t)) prende il nome di trasformata di Laplace della f(t). Si può dimostrare che, se la trasformata esiste in un punto p₀=x₀+iy₀ del piano complesso, esiste anche in tutti i punti aventi parte reale maggiore di x₀ e che, se x è l'estremo inferiore di tali punti, la trasformata esiste nel semipiano x> (semipiano di convergenza dell'integrale di Laplace), non esiste nel semipiano x<. Inoltre la funzione φ(p) è analitica olomorfa nel semipiano di convergenza. La trasformazione di Laplace è un'operazione lineare: infatti la trasformata della somma di due funzioni è la somma delle loro trasformate e la trasformata del prodotto di una costante per una funzione è pari al prodotto della costante per la trasformata della funzione. Hanno particolare interesse per le applicazioni le relazioni tra la trasformata di una funzione f(t) e le trasformate delle sue derivate successive f´(t), f‟(t),..., f⁽ⁿ⁾(t). Risulta infatti:

e in generale

L'importanza applicativa di tali formule è legata soprattutto al fatto che permettono di ridurre alcune equazioni differenziali (per esempio quelle lineari a coefficienti costanti) a equazioni algebriche nelle quali l'incognita è la trasformata della soluzione dell'equazione differenziale. Un esempio tipico di tale modo di procedere si ha per esempio nel calcolo simbolico usato in elettrotecnica. Nota la trasformata di Laplace di una funzione, si può risalire alla funzione generatrice (antitrasformata) mediante formule di inversione o servendosi di tavole di trasformate già calcolate. Si dice trasformata bilatera di f(t) la funzione

;le tra sformate bilatere il campo di convergenza non è un semipiano ma una striscia limitata da due rette parallele all'asse immaginario. La più nota formula di inversione è quella di Riemann-Fourier: dove h è un'ascissa qualsiasi compresa entro la striscia di convergenza. Tale formula, valida per le trasformate bilatere, viene spesso applicata anche per l'inversione delle usuali trasformate unilatere. La trasformazione di Laplace è un utile algoritmo per l'analisi e la descrizione delle proprietà dei sistemi lineari. In particolare, in elettronica, permette di introdurre importanti concetti quali le impedenze simboliche, i poli e gli zeri delle funzioni di trasferimento, il metodo degli operatori, i criteri di stabilità dei sistemi controreazionati, che sono alla base della teoria delle reti, della regolazione e dei controlli automatici.

Bibliografia

G. Lemaître, Laplace et le mécanisme céleste, in “L'Astronomie”, 1950; J. O. Jaeger, The Laplace Transformation, Londra, 1962; E. Gatti, P. Manfredi, S. Rimini, Elementi di Teoria delle Reti, Bologna, 1969; R. Spiegel Murray, Trasformate di Laplace, Milano, 1981.