agg. e sm. [sec. XIII; latino maxímus, superl. di magnus, grande].
1) Agg., il più grande, grandissimo: un'opera di valore massimo; il massimo autore contemporaneo; studiare col massimo impegno; la velocità massima di una macchina; al massimo grado; in massima parte, nella quasi totalità; al massimo, tutt'al più. Con particolari significati: A) temperatura massima, quella più alta raggiunta in un dato periodo di tempo. B) Tempo massimo, il tempo più lungo concesso ai partecipanti a una gara di corsa per raggiungere il traguardo; per estensione, il tempo entro il quale deve essere portata a termine una data operazione. C) Peso massimo, nello sport, categoria di atleti, più in particolare, nel pugilato, quella oltre i 79,378 kg per i professionisti (alcuni riconoscono la categoria dei massimi leggeri: tra 79,378 e 86,182 kg); nella lotta greco-romana, tra i 90 e i 100 kg; nella pesistica, oltre gli 82,500 kg. D) Massimo comun divisore di due o più numeri (abbreviazione M.C.D.), il maggiore sottomultiplo di tutti quelli dati. Per esempio il M.C.D. dei numeri 24 e 36 è 12. Analogamente si definisce il M.C.D. di due o più monomi o polinomi. Per esempio il M.C.D. dei polinomi a coefficienti reali
è x²-1. Infatti si ha
E) Massimo e minimo di una grandezza, il massimo e il minimo valore che questa grandezza assume fra un determinato numero di valori. F) Cerchio massimo di una sfera, cerchio ottenuto come intersezione della sfera con un piano passante per il centro di essa; ogni cerchio massimo divide la sfera in due parti uguali.
2) Sm., la quantità più grande possibile; il punto più alto; il limite estremo: il massimo dei voti, dello stipendio; il massimo della pena. In particolare, nel linguaggio economico, problema di massimo edonistico, problema che si presenta ai soggetti economici che tendono, a parità di costo (e di sacrificio), a massimizzare il reddito (o il beneficio) ottenibile in una data situazione di mercato; nel linguaggio bancario, massimo scoperto, il massimo fido concesso o il più elevato saldo attivo (per la banca) riscontrabile in un'apertura di credito.
Analisi matematica: massimi assoluti e relativi
Sia f(x) una funzione a valori reali definita nell'intervallo dei numeri reali [a,b], cioè in tutti i numeri reali x tali che a≤x≤b. Se x0 è un punto dell'intervallo tale che f(x)≤f(x0) per ogni punto x in [a,b], si dice che il punto x0 è un massimo assoluto per la funzione f(x). Analoga è la definizione di minimo assoluto. Se x0 è un punto interno ad [a,b] ed esiste un intervallo [h,k] con a0b e f(x)≤f(x0) per ogni x in [h,k], allora si dice che x0 è un punto di massimo relativo per f(x); analoga è la definizione di minimo relativo. I punti di massimo e minimo di una funzione sono detti estremi della funzione. È evidente che un punto di massimo (o di minimo) assoluto è anche punto di massimo (o di minimo) relativo, mentre il contrario non è sempre vero; può anche essere che un massimo relativo sia minore di un minimo relativo . Se la f(x) è derivabile e ha per x=x0 un estremo relativo, è f´(x0)=0; questa è una condizione necessaria, ma non sufficiente per l'esistenza dell'estremo; perché lo sia deve essere anche f‟(x0)≠0. Se per x=x0 sono nulle, oltre alla derivata prima, anche la 2a, 3a, ..., (r-1)-ima, ma non la r-ima, si può dimostrare che, se r è dispari, in x0 non c'è estremo, se r è pari si ha un minimo se f()(x0)>0 e un massimo se f()(x0)<0. Considerazioni analoghe valgono per le funzioni di più variabili. Le seguenti considerazioni valide per una funzione z=f(x, y) di due variabili sono immediatamente estendibili al caso di tre o più variabili. Sia f(x, y) definita in tutti i punti di un campo A; un punto (x0, y0) di A è un punto di massimo relativo per f(x, y) quando esiste un intorno C di (x0, y0), contenuto in A, tale che per tutti gli (x, y) di C sia f(x, y)≤f(x0, y0); in modo analogo si definisce un punto di minimo relativo. Se la disuguaglianza precedente viene verificata per tutti gli (x, y) di A, allora (x0, y0) è un punto di massimo assoluto. Allo scopo di stabilire se per una f(x, y) un punto (x0, y0) di A, in cui le
e
sono nulle, sia un estremo, si consideri il seguente determinante:
detto determinante hessiano. Si ha che: A) se in (x0, y0) si ha H>0, il punto (x0, y0) è un estremo relativo e precisamente un minimo, se
si ha invece un massimo se
; B) se in (x0, y0) si ha H<0, allora (x0, y0) non è estremo relativo; C) se in (x0, y0) si ha H=0, lo studio delle derivate parziali del secondo ordine non è di solito sufficiente per concludere se c'è estremo e si devono considerare le derivate di ordine superiore o ricorrere ad artifici. Per esempio, la funzione f=x4+x²y²+y4 ha, in (0, 0),
, e H=0, ma ha in (0, 0) un minimo perché
e H sono positivi in qualsiasi intorno dell'origine.
Analisi matematica: massimi e minimi vincolati
Il problema consiste nel determinare gli estremi di una funzione f(x, y,..., z) le cui n variabili x, y,..., z sono vincolate da una o più relazioni h(x, y,..., z)=k (i=1, 2,..., m; m) tra loro indipendenti. In questo caso il procedimento più semplice è quello dei moltiplicatori di Lagrange, secondo il quale i punti nei quali la f ha un massimo o un minimo (e in essi le h assumono valori costanti prestabiliti) sono da ricercarsi fra quei punti che annullano tutte le derivate della funzione f-λ₁h₁-λ₂h₂-...-λh, in cui λ₁, λ₂,..., λ sono costanti, dette moltiplicatori di Lagrange. La questione è quindi ricondotta alla ricerca dei massimi e minimi liberi della suddetta funzione. Per esempio, si debbano determinare gli estremi della funzione z=x²+y² sotto la condizione x²+6xy+y²=1. Dal punto di vista geometrico significa determinare i punti la cui coordinata z è massima e minima lungo la curva intersezione del paraboloidez=x²+y² con la superficie cilindrica avente le generatrici parallele all'asse z e come direttrice l'iperbole
In base al metodo dei moltiplicatori di Lagrange si ha la funzione
e quindi:
questo è un sistema omogeneo in due incognite che ammette soluzioni per λ₁1/2 e λ₂=-1/4. Sostituendo questi valori e osservando che l'equazione dell'iperbole ammette soluzioni reali per y=x, si ottengono i seguenti punti:
La
risulta positiva sia in Q₁, sia in Q₂, pertanto in entrambi i punti la z=x²+y² ha un minimo. Una generalizzazione della teoria elementare dei massimi si ha nel calcolo delle variazioni. Il problema tipico che viene qui affrontato è quello di determinare una o più funzioni estremali, in corrispondenza alle quali è definito un funzionale, che rendono massimo o minimo questo funzionale rispetto a tutte le altre funzioni definite in un intorno h di esse. Per esempio, data una curva y=y(x)≥0 la si faccia ruotare attorno all'asse x e si determini la superficie minima di rotazione. L'area della superficie che si genera, limitata dai piani x=x0 e x=x₁ è data dall'integrale
; si deve perciò trovare la curva y=y(x) che rende minimo il funzionale S; mediante calcoli e teoremi del calcolo delle variazioni si ottiene l'equazione differenziale yy‟=y´²-1 che, risolta, dà la curva richiesta.
