interpolazióne

Lessico

Sf. [sec. XIV; da interpolare].

1) Ogni intervento con cui si interpola un testo; anche la parola o la frase interpolata. In particolare, nella storia del diritto si dicono interpolazioni i mutamenti sostanziali o formali, spesso innovativi, compiuti soprattutto dai compilatori giustinianei sul testo degli scritti degli antichi giuristi e delle costituzioni imperiali. Glossatori e postglossatori (sec. XI-XV) non si interessarono delle interpolazioni, impostando lo studio della compilazione giustinianea esclusivamente a scopi pratici; analogamente, nei sec. XVII e XVIII, operarono le scuole olandese e tedesca. Al contrario, nel sec. XV l'umanesimo italiano e nel XVI la scuola culta in Francia ricercarono le innovazioni giustinianee al fine di ricostruire il diritto romano classico. Nel sec. XX l'indagine è stata ripresa con metodi sempre più raffinati: al criterio del raffronto fra il testo tramandatoci nel Corpus iuris civilis e quello giunto altrimenti, si aggiungono quello storico, filologico, sistematico, logico, logico-giuridico, esegetico, diplomatico. L'attenzione degli studiosi si è rivolta anche alle alterazioni ed elaborazioni postclassiche, rendendo la ricerca sempre più ricca di prospettive, ma anche sempre più complessa.

2) Procedimento matematico mediante il quale si sostituisce a una distribuzione di valori osservati (o alla spezzata che la rappresenta graficamente) una distribuzione teorica (cioè una curva continua detta curva interpolatrice) ottenuta in base a una funzione matematica.

Matematica: funzioni e applicazioni

L'interpolazione ha come scopi essenziali: colmare le lacune della distribuzione effettiva, inserendo valori calcolati fra quelli ottenuti dall'osservazione (per esempio quando, in base ai dati ricavati dai censimenti fatti periodicamente si vogliono ricavare analoghi dati relativi a epoche intermedie); eliminare le irregolarità di andamento della distribuzione effettiva sostituendo ai valori osservati valori teorici che ne esprimono la tendenza di fondo (si parla in tale caso, propriamente, di perequazione); esprimere la relazione esistente tra due o più variabili, cioè spiegare in quale modo l'una varia in funzione dell'altra o delle altre. Il più diffuso metodo di interpolazione è quello delle equazioni normali, basato sul metodo dei minimi quadrati. Se si determinano valori esterni all'intervallo dei dati noti, il procedimento è detto estrapolazione. L'interpolazione grafica consiste nel rappresentare, solitamente in coordinate cartesiane, i valori noti e congiungere poi i vari punti con una spezzata, o con una qualunque curva che abbia un andamento il più possibile regolare. L'interpolazione analitica consiste invece nella ricerca di un'espressione analitica (funzione interpolatrice) che riproduca i dati statistici che si conoscono e che permetta di individuare quelli nuovi che interessano. La più semplice è l'interpolazione lineare che consiste nel determinare una funzione di primo grado che assume due valori assegnati y₁ e y₂ in corrispondenza di due noti valori x₁ e x₂ della variabile indipendente. Con questa interpolazione si sostituiscono ai valori assunti dalla funzione y = f(x) nell'intervallo (x₂- x₁) i valori corrispondenti che stanno sulla retta passante per (x₁, y₁) e per (x₂, y₂). La formula

di ricavare y quando sia stato fissato il valore x. Essa è di notevole importanza pratica per l'interpolazione delle funzioni usate solitamente nella risoluzione di problemi. Per esempio, in matematica finanziaria, si presenta spesso il problema della determinazione del montante di un capitale impiegato a un tasso che non è possibile trovare sulle tavole finanziarie. Se si vuole calcolare, per esempio, il valore 1,034⁷, dalle tavole finanziarie si ricava:

da cui applicando la formula di interpolazione lineare si ottiene y = 1,26373658. § Nella ricerca della funzione interpolatrice un caso semplice è fornito dal polinomio y = a₀x+ a₁x^-1 +... + a_-₁x + a, dove a₀, a₁,..., a sono costanti reali. La funzione interpolatrice può anche essere il polinomio:

dove a₀, ω, a, b(k = 1, 2, ..., p) sono 2(p + 1) costanti reali opportune, detto polinomio trigonometrico interpolatore.

Matematica: formula di interpolazione di Lagrange

Questa formula permette di determinare un polinomio di grado n-1 in x che per x₁, x₂,..., x assume n valori prefissati y₁, y₂,..., y:

In essa rientra come caso particolare la formula dell'interpolazione lineare vista sopra. Dalla formula di interpolazione di Lagrange si ottiene, mediante opportune sostituzioni, la formula di interpolazione di Newton:

dove e

Va precisato che le formule di interpolazione di Newton e di Lagrange sono differenti scritture dello stesso polinomio; la formula di Lagrange presenta lo svantaggio che, quando si deve ampliare il problema dell'interpolazione, si deve ricominciare il calcolo da capo.

Bibliografia

F. Cantelli, Sull'adattamento delle curve a una serie di misure o di osservazioni, Roma, 1905; H. Cramér, Mathematical Methods of Statistics, Princeton (New Jersey), 1905; G. Castelnuovo, Calcolo delle probabilità, Bologna, 1967; M. Boldrini; Statistica, teoria e metodi, Milano, 1968.