congruènza
Indice
Lessico
sf. [sec. XIII; dal latino congruentía, da congruĕre, incontrarsi, essere d'accordo].
1) Convenienza; corrispondenza, concordanza di una cosa con un'altra; coerenza.
2) In geometria: A) generalmente, sinonimo di uguaglianza diretta; indica però anche l'uguaglianza, diretta o inversa, se intesa come la trasformazione geometrica, caso particolare della similitudine piana. B) Congruenza di rette, una qualsiasi famiglia di rette dello spazio ordinario dipendente da due parametri. C) In matematica, nella la teoria dei numeri, è la relazione tra due numeri interi relativi, tali che la loro differenza sia divisibile oer un numero intero positivo.
3) Nella scienza delle costruzioni, condizione che si deve verificare in un solido elastico perché sia compatibile il suo stato di deformazione.
Aritmetica
Relazione tra due interi a e b per cui, dato un intero m, positivo o negativo, se m divide la differenza a-b si dice che a è congruo a b secondo il modulo m e si scrive a≡b (mod m); per esempio sono congruenze: 5≡19 (mod 7), 8≡-10 (mod 6), 15≡0 (mod 5). La relazione di congruenza è riflessiva, simmetrica e transitiva; vale inoltre che se a≡b (mod m) e m´>0 divide m, allora a≡b (mod m´). Se due numeri non sono congrui tra di loro, si dicono incongrui. Altre proprietà della congruenza sono: se a≡a´(mod m) e b≡b´(mod m), allora a+b≡(a´+b´) (mod m); a∤b≡ ≡a´∤b´(mod m); an≡a´n(mod m). Inoltre se m è il minimo comune multiplo di m´ e m‟, da a≡b (mod m´) e a≡b (mod m‟) si ha a≡b (mod m). Tenendo presenti le regole che valgono per le uguaglianze, anche in una congruenza si possono trasportare i termini da un membro all'altro; la proprietà di cancellazione si può applicare solo se il divisore è primo col modulo. Fondamentali nell'aritmetica sono i seguenti teoremi, in cui valgono relazioni di congruenza: A) teorema di Fermat, se p è un numero primo e l'intero a non è divisibile per p, allora p è un divisore della differenza ap-1-1, cioè vale la congruenza ap-1≡1(mod p). B) Teorema di Eulero (generalizzazione del teorema precedente), se m è un intero positivo e a è un qualunque intero primo con m, allora m è un divisore della differenza aφ()-1, cioè vale la congruenza aφ()≡1(mod m), dove φ(m) è la funzione aritmetica detta indicatore di Eulero. Questi due teoremi si applicano per risolvere le congruenze lineari ax+b≡ 0 (mod m), m primo con a. Infatti, moltiplicando per -b la congruenza aφ()-1≡0 (mod m), si ottiene a (-baφ()-1)+b≡0(mod m) e perciò la soluzione x0≡-baφ()-1(mod m). C) Teorema di Wilson, p è un numero primo se, e solo se, esso divide (p-1)!+1 cioè se, e solo se, (p-1)!≡ ≡-1(mod p). Questo teorema mette in evidenza un'importante proprietà dei numeri primi che permette di riconoscerli. I criteri di divisibilità e le prove del 9 e dell'11 delle operazioni si dimostrano per mezzo della teoria delle congruenze. Mediante una congruenza modulo m si può dividere la classe dei numeri interi in classi parziali ponendo nella stessa classe tutti gli interi congrui tra di loro modulo m. Dato un intero a, si indica con [a] la classe degli interi congrui ad a modulo m. La classe [0], per esempio, è formata da tutti i multipli di m. Una stessa classe può essere indicata in più modi. Si ha, per esempio, [0]=[m] e [-1]=[m-1]. A una stessa classe appartengono tutti gli interi che divisi per m danno lo stesso resto; per questa ragione le classi vengono dette classi resto modulo m. L'insieme avente come elementi le classi resto modulo m viene indicato con Zm. Esso è formato dalle m classi [0], [1], ..., [m-1]. In Zm si introducono le seguenti operazioni di somma e prodotto
L'insieme Zm con le operazioni di somma e prodotto è un anello per ogni m ed è un campo se e solo se m è un numero primo.