Matematica
Relazione che intercorre tra due numeri reali a e b quando si confrontano e si riscontra che essi non sono uguali. Si ha allora che o a è maggiore di b (a>b), o a è minore di b (a). Se è a>b, allora esiste un numero reale tale che a=b+c e, analogamente, se è a, esiste c tale che a+c=b. Se si hanno da confrontare più di due numeri reali a, b, c,..., d, si può procedere mettendoli in ordine crescente iniziando dal più piccolo e via via fino al più grande; si ottiene così una catena di disuguaglianze che si scrive a Si ottiene una catena analoga se si dispongono in ordine decrescente. Per le disuguaglianze valgono i seguenti teoremi, che costituiscono altrettante regole di calcolo: A) se a>b e b>c, allora si avrà a >c; B) se a>b e c>d, allora si avrà a+c >b+d e, inoltre: a+c>b+c; C) se a>b e c>0, allora è ac>bc, ma, se c<0, allora è ac; D) se a>b e c>d, allora è a-d>b-c e, inoltre, a-c>b-c; E) se a>b>0 e c>d>0, allora è ac>bd; F) se a>b>0 e c>d>0, allora si avrà a/d>b/c e, inoltre, 1/d>1/c. Da questi teoremi discendono altre regole per operare sulle disuguaglianze: per esempio, se si scambiano tra loro i due membri di una disuguaglianza bisogna scambiare anche il segno maggiore in minore, e viceversa, cioè bisogna invertire il senso della disuguaglianza. § In matematica, hanno grande importanza particolari disuguaglianze. Una notevole disuguaglianza che si incontra nella teoria dei numeri, ma che si estende immediatamente alla teoria delle funzioni, alla topologia, ecc., è la disuguaglianza triangolare che per i numeri consiste nel fatto che il valore assoluto della somma di due numeri è minore o uguale alla somma dei valori assoluti. In simboli: |a+b| ≤ |a|+|b|. § Altre importanti disuguaglianze, valide per classi molto generali di funzioni, sono la disuguaglianza di Bessel, la disuguaglianza di Hölder e la disuguaglianza di Schwarz. Nella disuguaglianza di Bessel, i coefficienti ai sono quelli dello sviluppo in serie della funzione f(x); nella disuguaglianza di Hölder, i numeri p e q sono maggiori di 1 e tali che
; la disuguaglianza di Schwarz è un importante caso particolare della precedente, che si ha per p=q=2. In algebra lineare, dato uno spazio vettoriale dotato di prodotto scalare <, > definito positivo si ha, per ogni coppia di vettori v, w dello spazio vettoriale, la seguente disuguaglianza:
Anche questa disuguaglianza viene detta disuguaglianza di Schwarz. Essa infatti coincide con la disuguaglianza di Schwarz quando, nello spazio vettoriale delle funzioni continue nell'intervallo [a,b], si definisce il prodotto scalare delle funzioni f(t) e g(t) nel modo seguente:
