La legge di conservazione dell'energia

L'energia di un sistema, definita come la sua capacità di svolgere un lavoro, si può presentare sotto varie forme, che possono trasformarsi le une nelle altre. Nel caso delle forze conservative, come la forza gravitazionale, la forza elastica ecc., la variazione di lavoro è esprimibile in termini di variazione di energia potenziale e di energia cinetica; ciò significa che, definiti lo stato iniziale e lo stato finale del sistema (per esempio, stato di moto e stato di quiete), si può esprimere la variazione di energia del sistema nella transizione fra i due stati (cioè il lavoro compiuto dalla forza in questione), la quale non dipende dal percorso seguito, ma solo dai punti iniziale e finale. Nel caso di forze non conservative, invece, come per esempio l'attrito, alle quali non è possibile associare un'energia potenziale, è necessario riferirsi più in generale alle variazioni dell'energia totale del sistema e occorre quindi conoscere esattamente tutte le trasformazioni subite dal sistema nel passaggio da uno stato all'altro.

In tutti e due i casi, però, vale una legge di conservazione, che stabilisce che la grandezza fisica coinvolta, in questo caso l'energia, rimane costante durante lo svolgimento del fenomeno.

Le cose sono particolarmente semplici nel caso delle forze conservative, perché la grandezza che si conserva è l'energia meccanica, mentre si complicano con le forze non conservative, per le quali è necessario introdurre il concetto di dissipazione.

La conservazione dell'energia meccanica

In un sistema sottoposto a forze conservative (per esempio, la forza gravitazionale) si definisce energia meccanica totale del sistema E la somma dell'energia cinetica Ecin e dell'energia potenziale Epot del sistema:

L'energia cinetica e l'energia potenziale di un corpo che si muove sotto l'azione di una forza in genere cambiano valore da istante a istante, a seconda della velocità e della posizione del corpo. Nel caso particolare di un corpo che cade da una determinata altezza e inizialmente possiede una certa energia potenziale, il lavoro compiuto dalla forza gravitazionale per portare il corpo a una quota più bassa è uguale alla differenza dell'energia potenziale del corpo tra i due punti; allo stesso tempo, però, il lavoro delle forze del campo è uguale alla differenza dell'energia cinetica che il corpo acquista nella caduta. Se A è il punto iniziale e B il punto finale, il lavoro si può quindi esprimere come:

Quindi

e, sommando entrambi i membri dell'uguaglianza, si ottiene:

dove i due termini dell'uguaglianza rappresentano per definizione l'energia meccanica del corpo, rispettivamente nel punto B e nel punto A. Questo risultato può essere generalizzato a ogni sistema, cosiddetto isolato, nel quale non intervengono forze non conservative (come, per esempio, le forze di attrito) ed esprime la legge di conservazione dell'energia meccanica, che stabilisce che l'energia meccanica di un sistema isolato sottoposto a forze conservative si mantiene costante durante il moto, per cui si può scrivere:

Se una grandezza rimane costante significa che la sua variazione è nulla, quindi la legge di conservazione dell'energia meccanica si può scrivere anche come:

I valori delle varie forme di energia (cinetica e potenziale) possono cambiare, ma la loro somma si mantiene costante. Le forze conservative sono così chiamate proprio per la loro proprietà di conservare l'energia meccanica totale.

Le leggi di conservazione vengono utilizzate in fisica, per esempio, per trovare il valore di una grandezza incognita. Così, attraverso la legge di conservazione dell'energia meccanica è possibile ricavare la velocità con cui un corpo arriva al suolo quando viene lasciato cadere da fermo da una quota nota h. Alla quota iniziale il corpo possiede energia potenziale Epot = mgh ed energia cinetica nulla; quando arriva al suolo, invece, possiede energia potenziale nulla, ma ha acquistato un'energia cinetica Ecin = 1/2 mv². Poiché la sua energia totale rimane costante, deve essere:

Da questa espressione è possibile ricavare la sua velocità di caduta, che è data da:

La conservazione dell'energia totale

In generale, quando un corpo si muove su una superficie o nell'aria è soggetto anche alle forze di attrito, che tendono a frenarne il moto, compiendo quindi un lavoro resistente . Le forze di attrito sono un esempio di forze non conservative, per le quali il lavoro svolto dipende dal cammino percorso, e vengono dette forze dissipative. Anche per queste forze si può enunciare una più generale legge di conservazione dell'energia, che stabilisce che la variazione dell'energia meccanica totale di un corpo è uguale al lavoro compiuto su di esso dalle forze dissipative; la legge di conservazione dell'energia assume la forma:

dove Ld è il lavoro delle forze dissipative. Poiché si tratta di un lavoro resistente, la variazione di energia meccanica sarà sempre negativa, il che significa che le forze dissipative tendono a diminuire l'energia meccanica totale del corpo su cui agiscono. Nella maggior parte dei casi, e in modo particolare nel caso dell'attrito, l'energia dissipata si trasforma in una nuova forma di energia, l'energia termica, che si manifesta riscaldando il sistema in moto.

Consideriamo, per esempio, una sferetta che viene messa in moto su un piano inclinato non perfettamente liscio: nella posizione iniziale la sferetta possiede una certa energia potenziale gravitazionale, dovuta alla forza di gravità, che tende a farla scivolare verso il basso. Nel corso del moto la sferetta acquista energia cinetica a spese dell'energia potenziale. La somma delle due, in un sistema isolato, che in questo caso è rappresentato da un piano inclinato che non offre attrito, si manterrebbe costante. Nel caso in esame la corsa della sferetta verso il basso però è frenata dall'attrito opposto dalla superficie, che tende a far diminuire la sua energia meccanica e di conseguenza a farla arrivare al suolo con una velocità inferiore a quella che avrebbe avuto in assenza di attrito. La perdita di energia meccanica, quindi il lavoro resistente compiuto sulla sferetta dalle forze di attrito, si trasforma in energia termica che provoca un aumento della temperatura del sistema composto dalla sferetta e dal piano inclinato.

In generale si può dire che l'energia di un sistema non viene perduta nel corso della trasformazione, ma si trasforma, passando da una forma a un'altra. La legge di conservazione dell'energia viene estesa ai fenomeni termici dal primo principio della termodinamica. Nel caso poi dei fenomeni fisici che avvengono a livello atomico o subatomico, dove le leggi della meccanica classica non sono più valide, la legge di conservazione dell'energia vale sempre e assume una forma ancor più generale, che tiene conto anche delle possibili trasformazioni di energia in materia e viceversa previste dalla teoria della relatività.

Tenendo conto quindi dell'energia termica, Q, prodotta dalle forze dissipative e dell'energia dovuta a trasformazioni di materia, che sarà data da un termine m0c² (dove m0 è la massa a riposo del corpo che si trasforma e c = 3·10⁸ m/s è la velocità della luce nel vuoto), la forma più generale della legge di conservazione dell'energia è la seguente: