La legge di conservazione della quantità di moto

Per descrivere il moto di un corpo, grandezze cinematiche come accelerazione e velocità spesso non sono sufficienti. Si pensi per esempio all'urto tra una sferetta ferma e una in movimento: la velocità che verrà impressa alla sferetta ferma a seguito dell'urto dipende dalla velocità della sferetta in moto, ma anche dalle relative masse. Una sferetta di massa piccola acquista a seguito dell'urto una velocità maggiore di una di massa più grande. Per tener conto della dipendenza della massa sul moto di un corpo, viene introdotta in fisica una nuova grandezza vettoriale, la quantità di moto, indicata con p, data dal prodotto della velocità v di un corpo in moto per la sua massa m:

Direzione e verso della quantità di moto di un corpo coincidono con quelli della sua velocità.

La seconda legge della dinamica stabilisce che, quando un corpo è sottoposto a una forza, varia la sua velocità e di conseguenza varia anche la sua quantità di moto. La seconda legge della dinamica:

si può scrivere anche in termini di variazione della quantità di moto.

La legge scritta come sopra vale soltanto nel caso in cui la massa del corpo resti costante durante il processo. Se, per esempio, si dovesse studiare la forza alla quale è sottoposto un missile, che perde grandi quantità di combustibile nel lancio, o di un corpo qualsiasi la cui massa varia quando è sottoposta a una forza, si dovrebbe utilizzare una diversa formulazione della legge. Poiché l'accelerazione è per definizione la variazione della velocità nel tempo, la seconda legge della dinamica si può scrivere nel seguente modo:

che esprime il concetto per cui la forza agente su un corpo è uguale alla variazione della sua quantità di moto nel tempo.

Nel caso in cui un corpo non sia sottoposto ad alcuna forza (F = 0), o sia sottoposto a una serie di forze la cui risultante è nulla, la seconda legge della dinamica scritta in termini di quantità di moto esprime la legge di conservazione della quantità di moto: la quantità di moto di un corpo sottoposto a forze di risultante nulla è costante nel tempo. Analogamente, dato un sistema costituito da più corpi, se si definisce la quantità di moto totale del sistema come la somma delle quantita di moto dei singoli corpi che lo compongono, si può dire che, in un sistema di corpi sottoposto a forze di risultante nulla, la quantità di moto totale del sistema rimane costante.

Si definisce infine impulso, I, di una forza F il prodotto della forza applicata a un corpo per l'intervallo di tempo t nel quale dura l'applicazione:

per cui la seconda legge della dinamica si può scrivere come:

a significare che l'impulso di una forza applicata a un corpo è uguale alla variazione della quantità di moto del corpo stesso. La legge di conservazione della quantità di moto viene utilizzata per studiare gli urti tra i corpi.

Quantità di moto e urti

La quantità di moto risulta molto utile nello studio degli urti tra due o più corpi, che avvengono nell'interazione tra i corpi a distanze molto ravvicinate e in tempi brevissimi. In questi casi le forze in causa, che agiscono per intervalli di tempo molto brevi, si dicono impulsive e la loro azione produce l'effetto di cambiare istantaneamente la direzione e la velocità dei corpi che collidono.

Consideriamo il caso più semplice di urto, quello dovuto allo scontro fra due sferette (indicate con A e B) in moto; durante l'urto con la sferetta B, la sferetta A è sottoposta a un impulso dato dal prodotto della forza esercitata da B, indicata con FB, per l'intervallo di tempo ?t durante il quale avviene l'urto, che sarà uguale alla variazione della sua quantità di moto:

Allo stesso tempo, la sferetta B sarà sottoposta a un impulso, dato dalla forza FA esercitata da A, che uguaglia la variazione della quantità di moto di B:

In base alla terza legge della dinamica , la forza che A esercita su B deve essere uguale e contraria alla forza che B esercita su A, quindi:

e di conseguenza:

Questa uguaglianza si può scrivere anche come:

Se la variazione nel tempo della quantità di moto totale del sistema costituito dalle due sferette è nulla, significa che la quantità di moto totale del sistema è costante, quindi che vale la legge di conservazione della quantità di moto applicato al sistema costituito dalle due sferette:

La quantità di moto totale del sistema non cambia a seguito dell'urto. La collisione ha l'effetto di ridistribuire tra le due sferette la quantità di moto di cui il sistema dispone, ma la somma totale rimane costante: questo significa che la quantità di moto di ciascuna sferetta può variare di intensità, di direzione e di verso, ma la somma delle due rimane costante. Su un sistema di questo tipo si è supposto che non agiscano forze esterne non equilibrate, ma che le uniche forze che contribuiscono a variare il moto delle due sferette siano prodotte dall'interazione tra esse, quindi il sistema si può considerare isolato. Si può dunque estendere la legge di conservazione della quantità di moto al caso più generale dicendo che la quantità di moto totale di un sistema isolato si conserva, cioè rimane costante nel tempo.

Questa legge vale per un numero qualunque di corpi che interagiscono ed è indipendente dalle loro dimensioni. Inoltre, come la legge di conservazione dell'energia, vale anche per quei sistemi (per esempio, i sistemi atomici) per i quali cessa di valere la meccanica classica ed è estremamente utile per studiare gli urti tra particelle elementari, che permette di ricavare preziose informazioni sulle loro caratteristiche (come per esempio le masse) che non sono misurabili direttamente.

Urti elastici e urti anelastici

Gli urti tra corpi si dividono in genere in urti elastici e urti anelastici.

Nel caso degli urti elastici, oltre alla quantità di moto totale, si conserva anche l'energia cinetica totale del sistema, cioè la somma delle energie cinetiche dei corpi che lo compongono. In questo tipo di urti può avvenire una deformazione temporanea dei corpi che collidono. Le leggi di conservazione applicate agli urti elastici vengono utilizzate per prevedere il comportamento del sistema a seguito dell'urto, quindi per determinare le velocità e le traiettorie dei corpi; l'urto fra due palle da biliardo, fatte generalmente di materiale rigido e non deformabile, può essere considerato elastico.

Negli urti anelastici parte dell'energia cinetica viene utilizzata per deformare in modo permanente (seppure in parte) almeno uno dei corpi che collidono. Si ha un urto anelastico, per esempio, quando una freccia viene scagliata contro un bersaglio che viene trafitto e quindi si defoma. Un urto parzialmente anelastico si verifica quando solo parte dell'energia cinetica viene dissipata sotto forma di calore o utilizzata per compiere un lavoro: per esempio, quando un sasso colpisce una vetrata parte della sua energia cinetica viene spesa per rompere il vetro, ma il sasso mantiene una frazione della sua energia cinetica e continua la sua corsa. Anche negli urti anelastici vale però la legge di conservazione della quantità di moto.

Negli urti elastici valgono entrambe le leggi di conservazione, mentre in quelli anelastici vale solo la legge di conservazione della quantità di moto. Le caratteristiche dei due tipi di urti sono riassunte nello schema in basso.

Esplosione e propulsione

Un'interessante applicazione della legge di conservazione della quantità di moto è osservabile nei motori a propulsione, come quello dei missili. Per capire il funzionamento di tali motori si pensi inizialmente al fenomeno del rinculo che segue a un'esplosione: un fucile che spara un proiettile, per esempio, subisce il fenomeno del rinculo, cioè rimbalza all'indietro a seguito dello sparo, e questo a causa della legge di conservazione della quantità di moto. La quantità di moto del sistema costituito dal fucile e dal proiettile, infatti, deve restare uguale prima e dopo l'esplosione; prima dell'esplosione fucile e proiettile sono fermi, dunque la quantità di moto totale del sistema è nulla. A seguito dell'esplosione il proiettile viene sparato in avanti con una certa velocità e acquista una certa quantità di moto. La medesima quantità di moto, con verso contrario, deve essere acquistata dal fucile, che di conseguenza rincula nella direzione opposta a quella del proiettile. Ovviamente, poiché la massa del fucile è molto maggiore della massa del proiettile, la velocità del fucile dopo l'esplosione è più bassa di quella del proiettile.

Un motore a propulsione funziona sfruttando il medesimo principio: all'interno del motore a propulsione di un razzo brucia del combustibile che viene espulso a un'estremità ad alta velocità, come un proiettile in un fucile; di conseguenza il razzo viene spinto nella direzione opposta rispetto a quella dell'uscita dei gas di combustione. Se il razzo è fissato a un mezzo mobile su ruote, per esempio, questo manterrà il moto fino a quando verrà mantenuta la combustione.