radice (matematica)

Descrizione generale

Numero che elevato alla n-esima potenza riproduce il numero dato. Pertanto, per radice n-esima, con n intero positivo, di un numero reale positivo o nullo α si intende quel numero reale positivo o nullo x tale che xⁿ=α. Il numero x è unico perché la funzione y=xⁿ, per x che va da 0 a +∞, assume una sola volta tutti i valori da 0 a ∞; x è la radice n-esima assoluta e si denota con oppure con . Se α non è una potenza n-esima perfetta, x è un numero irrazionale. Se α è reale relativo, si possono presentare i seguenti casi: per α positivo ed n dispari esiste una sola radice; per α positivo ed n pari esistono due radici (+x e -x) perché i numeri negativi elevati a esponente pari diventano positivi; per α negativo ed n dispari esiste una sola radice negativa (per esempio ; per α negativo ed n pari non esiste nel campo reale nessuna radice che esiste però nel campo complesso (vedi numero).

Calcolo della radice quadrata di un numero

Per calcolare effettivamente la radice quadrata di un numero esiste un algoritmo che illustriamo con un esempio. Si voglia estrarre la radice quadrata del numero 68.347; si comincia con il dividere mediante un puntino il numero dato in gruppi di due cifre iniziando dalla destra; si estrae la radice quadrata del primo gruppo a sinistra, che può anche essere costituito da una sola cifra, come nel nostro caso:

Il numero 2 è la prima cifra della radice. Si fa il quadrato della radice trovata, nel nostro caso 4, e lo si toglie dal primo gruppo a sinistra del numero dato; accanto al resto si scrive il secondo gruppo di cifre e si separa con un puntino l'ultima cifra a destra:

Il numero che rimane a sinistra (28) viene diviso per il doppio della radice trovata (4) e si scrive alla destra del doppio (cioè alla destra di 4) il quoziente che si ottiene, cioè 7; il numero che si ottiene (47) viene moltiplicato per il quoziente stesso:

Il prodotto che si ottiene deve essere sottratto dall'ultimo numero scritto in basso a sinistra; si sarebbe dovuto togliere 329 da 283, ma poiché l'operazione è impossibile si prova un quoziente minore di un'unità, cioè 6. Si fa la differenza e la cifra che permette questo calcolo (nel nostro caso 6) è la seconda cifra della radice:

Ora si procede allo stesso modo: si abbassa l'altro gruppo (il 47) e si separa l'ultima cifra a destra. Il numero che rimane a sinistra si divide per il doppio della radice trovata (52); si scrive il quoziente (nel nostro caso 1) accanto al doppio della radice e si moltiplica il numero così formato per il quoziente stesso:

Si sottrae come prima il numero dall'ultimo numero scritto in basso a sinistra e se non ci sono altri gruppi da trascrivere la differenza trovata è il resto dell'operazione; il resto deve essere minore del doppio della radice. Nel caso del nostro numero la cifra 1 è la terza della radice; se si vuole determinare la radice quadrata di un numero intero approssimata con un certo numero di cifre decimali si mette la virgola al numero e la si fa seguire da tanti gruppi di due zeri quante sono le cifre decimali che si vogliono trovare nella radice; si procede poi nelle operazioni come con i numeri interi. Esiste anche un procedimento aritmetico che permette di determinare la radice cubica di un numero, procedimento che si presenta però piuttosto complicato; in questo caso, come in tutti gli altri in cui sia da determinare la radice n-esima con n >2, si usa di preferenza la formula che esprime una proprietà dei logaritmi per la quale è . Se per esempio si deve determinare con i logaritmi, si ha ; questo è il logaritmo della radice cubica di 785; per mezzo delle tavole si ricava il numero che lo ammette come logaritmo e che è il numero cercato: 9,225. L'utilizzo delle macchine calcolatrici sta facendo passare in disuso questi procedimenti. La radice aritmetica di un numero reale positivo gode di alcune semplici proprietà che ne facilitano il calcolo letterale e che sono un'immediata conseguenza delle proprietà elementari delle potenze:

Le radici primitive

In generale dato un numero complesso z=a+ib e un intero n sappiamo dal teorema fondamentale dell'algebra (vedi equazione) che esistono n soluzioni dell'equazione xⁿ-z+0 per cui esistono in generale n radici di z. Ponendo z=a+ib=ρ(cosφ+i sen φ), la formula di De Moivre fornisce gli argomenti delle n radici che risultano:

al variare di k da 0 a n-1; in definitiva le radici sono date da

Le immagini sul piano di tali radici costituiscono un poligono regolare di n lati. Particolare importanza hanno quindi le radici n-esime dell'unità in quanto permettono di suddividere il cerchio unitario in n archi eguali (ciclotomia). Una radice n-esima dell'unità si dice radice primitiva n-esima se n è il minimo esponente al quale bisogna elevare la radice in questione per ottenere l'unità. Poiché l'insieme delle radici n-esime dell'unità forma un gruppo ciclico di ordine n, una radice primitiva costituisce un generatore di tale gruppo; vi sono pertanto esattamente tante radici primitive n-esime dell'unità quanti sono i generatori di un gruppo ciclico di ordine n.