variazionale

Lessico

agg. [da variazione]. In fisica-matematica, principi variazionali, quelli che contengono le condizioni che devono essere soddisfatte perché una certa grandezza subisca una determinata variazione al variare dei parametri dai quali è definita. In meccanica razionale i principi variazionali si ricavano dalla legge fondamentale che regge il moto di ogni sistema meccanico e affermano che il moto naturale è quello per cui risulta stazionaria, o meglio minima, un'opportuna espressiva quantità, in confronto a tutti i movimenti che soddisfano a certe condizioni date. I principi variazionali sono particolarmente utili e molto significativi da un punto di vista speculativo; i più importanti sono quello di Gauss, relativo alla minima costrizione dei vincoli, quello di Hertz della direttissima, quello di Hamilton, quello dell'azione stazionaria di Maupertius, Eulero, Hölder.

Fisica: principio di Gauss

Si consideri un punto materiale vincolato, che all'istante t occupi la posizione P e possegga la velocità v; in un istante successivo t+Δt esso raggiunge, ubbidendo al vincolo e sotto l'azione delle forze attive, la posizione Q. Se il vincolo venisse a mancare all'istante t esso occuperebbe all'istante t+Δτ la posizione Q; il divario tra Q e Q va attribuito alla costrizione del vincolo e si assume come misura della costrizione del vincolo la grandezza scalare , cioè il prodotto della massa del punto per il quadrato della distanza fra Q e Q. Per un sistema di punti materiali si assume come costrizione la somma delle costrizioni dei vincoli a cui soggiacciono i singoli punti del sistema. Partendo dall'equazione fondamentale della dinamica, si dimostra che il moto naturale di un sistema materiale soggetto a vincoli lisci bilateri è caratterizzato, fra tutti i moti compatibili con i vincoli, come quello per cui risulta minima la costrizione dei vincoli, in un intervallo di tempo abbastanza piccolo (principio della minima costrizione dei vincoli o del minimo sforzo). Se si considera, per esempio, un punto materiale pesante vincolato a una retta inclinata liscia, inizialmente in quiete, esso raggiunge in capo a un certo tempo la posizione Q per cui riesce minima la distanza dalla posizione Q che in capo allo stesso tempo il punto raggiungerebbe se, soppresso il vincolo, fosse caduto, a partire dalla stessa posizione, lungo la verticale.

Fisica: principio di Hertz della direttissima

Può essere dedotto dal principio di Gauss. Da questo principio si può ricavare che, se un punto materiale è libero nello spazio, il suo moto è rettilineo uniforme, come vuole la legge d'inerzia, e se è vincolato a una superficie fissa e liscia il suo moto è uniforme e avviene secondo la traiettoria più diritta concessa dal vincolo, cioè secondo una geodetica. Generalizzando queste deduzioni a un sistema formato da N punti materiali, soggetto a vincoli lisci fissi, in assenza di forze attive, il moto naturale del punto rappresentativo nello spazio delle configurazioni, qualunque sia l'atto di moto iniziale, è sempre uniforme, e inoltre, a ogni istante, la relativa traiettoria ha la minima curvatura rispetto a tutte le altre traiettorie consentite dai vincoli. Il principio enunciato vale in assenza di forze attive, ma questa limitazione è inessenziale quando ci si ponga dal punto di vista di Hertz, secondo cui, come è possibile sostituire i vincoli con opportune forze (le reazioni vincolari), è possibile sostituire le forze con opportuni vincoli, bandendo dalla meccanica il concetto primitivo di forza.

Fisica: principio di Hamilton

Per la comprensione del principio di Hamilton, bisogna premettere il concetto di movimento variato sincrono: sia P la posizione raggiunta nell'istante t da un punto generico di un sistema mobile durante un suo movimento M; se si dà al sistema uno spostamento virtuale, relativo all'istante t, e se δP è lo spostamento del punto considerato, assegnando δP in funzione di t, si definisce un movimento M´ nel quale il punto precedente raggiunge nell'istante t la posizione P´=P+δP; il movimento M´ si dice variato sincrono di M. In corrispondenza con ogni possibile movimento di un sistema meccanico, la differenza tra l'energia cinetica t e quella potenziale V è una funzione del tempo e si definisce azione hamiltoniana S l'integrale di tale funzione nell'intervallo di tempo (a, b) in cui il moto si compie:

Il principio di Hamilton per sistemi conservativi può essere così enunciato: il moto naturale di un sistema materiale, soggetto a vincoli lisci bilateri e a sollecitazione attiva conservativa, è quello che rende minimo l'integrale S, rispetto a tutti i moti variati sincroni, che rispettano la configurazione iniziale e finale. Nel moto naturale risulta quindi minimo il valore medio della differenza T-V, quindi si ha che nel moto naturale l'energia si ripartisce in media quanto più è possibile equamente tra la sua forma cinetica e la sua forma potenziale.

Fisica: principio di Hölder

Il principio dell'azione stazionaria (o principio variazionale di Hölder) si riferisce ai moti variati asincroni così definiti: sia P la posizione raggiunta nell'istante t da un generico punto di un sistema mobile durante un suo movimento M; si dia al sistema uno spostamento virtuale, relativo all'istante t, e sia δP lo spostamento del punto considerato; il movimento M´nel quale il punto precedente raggiunge nell'istante t+δt la posizione P´=P+δP è detto movimento variato asincrono del movimento M. Il principio dell'azione stazionaria, dovuto a Hölder nella sua formulazione generale, afferma che fra tutti i moti variati asincroni isoenergetici, che rispettano la configurazione iniziale e finale, il moto naturale è quello per cui l'azione

cioè il valore medio dell'energia cinetica nell'intervallo di tempo (a, b) risulta stazionaria. Nel caso di un sistema olonomo a vincoli fissi, soggetto a sollecitazione attiva conservativa, si dimostra che l'azione A risulta non soltanto stazionaria, ma minima; si ha allora il principio della minima azione, che nel caso di un solo punto materiale era stato enunciato da Maupertius e in forma più precisa da Eulero. Per un semplice corpuscolo l'azione è

dove m è la massa e v la velocità del corpuscolo, E la sua energia totale e s la lunghezza del cammino percorso sulla sua traiettoria e variabile tra 0 e l; il principio della minima azione porta a scegliere fra le infinite traiettorie che il corpuscolo può scegliere per andare da una posizione iniziale a una posizione finale, prefissata la traiettoria effettiva. Se, per esempio, il corpuscolo è vincolato a una superficie liscia e non agiscono forze attive, si deduce che la traiettoria è la linea superficiale che segna il cammino minimo fra i punti considerati. È molto significativo mettere a confronto il principio della minima azione nella veste geometrica appena considerata con il principio di Fermat, che individua i raggi luminosi in un mezzo trasparente; il cammino seguito dalla luce per passare da un punto P₁ a un punto P₂ è quella della minima durata, che viene espressa da

dove n è l'indice di rifrazione, che è una funzione del posto reciproca della velocità della luce nel mezzo considerato. L'identificazione del principio di Fermat con quello della minima azione suggerisce l'identificazione dell'ottica geometrica con la meccanica corpuscolare, ma l'ottica geometrica non è altro che un aspetto macroscopico dell'ottica fisica, i cui fenomeni hanno carattere ondulatorio e sono retti dall'equazione di D'Alembert. Si deve a De Broglie l'istituzione di una meccanica ondulatoria che sta alla meccanica corpuscolare come l'ottica fisica sta all'ottica geometrica, di cui l'ordinaria meccanica costituisce solo l'aspetto macroscopico.