vettóre (fisica e matematica)

Definizione

Ente caratterizzato da lunghezza, direzione e verso. Per estensione, gli elementi di uno spazio vettoriale.

Fisica: generalità

Un vettore viene rappresentato graficamente con un segmento orientato la cui lunghezza è uguale al modulo, cioè a un numero reale positivo (o nullo nel caso in cui i due estremi del segmento coincidono). Se il modulo è uguale all'unità si ha un vettore unitario, o versore. Un vettore individuato da un segmento orientato AB viene denotato con la notazione ; generalmente i vettori vengono indicati, negli scritti a mano, da una lettera soprassegnata da una freccia e, nei caratteri a stampa, in nero. Il modulo corrispondente viene indicato con la stessa lettera priva di freccia, o in carattere corsivo, o con il simbolo di vettore tra due sbarre verticali. Le grandezze rappresentabili con vettori, come le velocità, le accelerazioni, le forze, ecc., sono dette vettoriali. Due vettori sono uguali se hanno lo stesso modulo, la stessa direzione, lo stesso verso; un vettore può essere rappresentato da infiniti segmenti aventi la medesima lunghezza, direzione, verso. Il componente (o la componente) di un vettore secondo una retta, o secondo un piano, è un vettore che si ottiene facendo la proiezione del vettore sulla retta, o sul piano; esso risulta nullo quando la direzione del vettore è perpendicolare alla retta, o al piano. La componente v_r di un vettore secondo un asse è il modulo del componente rispetto all'asse, considerato con il segno + o con il segno - secondo che il componente sia concorde o discorde con l'asse; chiamando φ l'angolo formato da v con l'asse r, sarà v_r=v cos φ. Le componenti cartesiane di un vettore v si ottengono fissando una terna ortogonale di assi cartesiani Oxyz e determinando le componenti v, v, v secondo i tre assi cartesiani del vettore spiccato per l'origine degli assi; si può stabilire una corrispondenza biunivoca e completa tra vettori e terne di numeri reali. Nel piano, se si fissa l'origine del sistema diassi coincidente con l'origine del vettore, le componenti cartesiane di v sono le sue componenti secondo gli assi cartesiani: v_x=v cos φ, v_y=v sen φ e queste coincidono con le coordinate del punto P terminale del vettore. Analogamente, per una terna di assi cartesiani ortogonali nello spazio: a ogni terna di numeri corrisponde un punto P e un vettore , le cui componenti sono le coordinate di P; si stabilisce così una corrispondenza biunivoca tra vettori e terne di numeri reali. Se poniamo v=vl, v=vm, v=vn, i tre numeri l, m, n si chiameranno coseni direttori di v rispetto alla data terna cartesiana. Il modulo del vettore è espresso dalla formula

Si dice prodotto di uno scalare a per un vettore, v, e si indica con av, il vettore che ha per modulo av, per direzione quella di v, per verso quello di v o il suo opposto secondo che a sia positivo o negativo. Somma, o composizione, di vettore: dati due vettori a e b, preso un punto qualunque O si costruiscano i vettori e ; si dice somma o risultante dei due vettori il vettore e si scrive s=a+b. La somma di due vettori gode della proprietà commutativa: a+b=b+a. Per fare la somma di due vettori si può procedere nel seguente modo: costruire i vettori e e completare il parallelogramma individuato dai segmenti OA e OC; se OB è la diagonale concorrente in essi, si ha (regola del parallelogramma). La regola permette di determinare anche la differenza di due vettori applicati allo stesso punto O: mentre nel caso della somma la risultante è il vettore s avente come modulo la diagonale, nel caso della differenza si somma al vettore a l'opposto di b. Se i due vettori sono due forze, si ha il parallelogramma delle forze. Se si considerano n vettori a₁, a₂,..., a e, preso un punto qualunque O, si costruiscono i vettori , si dice somma o risultante degli n vettori il vettore , cioè s=a₁+a₂+... a. La somma vettoriale viene cioè eseguita con la poligonale costruita con i vettori addendi; se la poligonale si chiude la somma è nulla. La somma di vettori gode delle proprietà associativa e commutativa.

Fisica: scomposizione di un vettore

Un vettore v può pensarsi decomposto, in un'infinità di modi diversi, nella somma di un qualsiasi fissato numero di vettori, considerando un arbitrario segmento orientato rappresentativo del vettore v assegnato e costruendo una qualsiasi poligonale che abbia tale segmento come lato di chiusura. Tra gli infiniti modi in cui un vettore può essere scomposto ve ne sono alcuni di uso frequente: la scomposizione di un vettore in un piano, secondo due direzioni prefissate, è l'operazione che permette di determinare su queste due rette due vettori v₁ e v₂ la cui somma è il vettore v. I vettori v₁ e v₂ sono univocamente determinati e si trovano tracciando dall'estremo libero del vettore v le parallele al vettore assegnato; v₁ e v₂ rappresentano in direzione, verso e modulo i due vettori (componenti) in cui è scomposto il vettore assegnato. La scomposizione di un vettore secondo tre direzioni non complanari si ottiene come segue: dato un vettore , se r₁, r₂, r₃ sono tre direzioni non complanari passanti per il punto O, si conducano per V i piani paralleli ai piani (r₁ r₂), (r₁ r₃), (r₂ r₃) e siano V₁, V₂, V₃ i loro punti di intersezione con le rette r₁, r₂, r₃. I vettori sono i vettori componenti cercati: . Per la scomposizione cartesiana, se si considera una terna cartesiana ortogonale Oxyz e un vettore questo può essere considerato somma dei tre componenti diretti come gli assi, cioè ; introducendo i tre versori i, j, k diretti e orientati come gli assi, se v_x, v_y, v_z sono le tre componenticartesiane di v si ha: v=vi+vj+vk. Il prodotto scalare, o prodotto interno, di un vettore a per un vettore b che viene indicato a×b (leggasi a scalare b), è lo scalare che si ottiene moltiplicando il modulo di a per il modulo di b per il coseno dell'angolo compreso fra i due vettori; indicando con φ tale angolo si ha: a×b=ab cos φ; esso risulta uguale al prodotto del modulo di un vettore per la componente dell'altro secondo il primo . Il prodotto scalare di due vettori ortogonali è nullo; il prodotto scalare di due vettori paralleli ed equiversi è il prodotto dei moduli. Il prodotto scalare gode della proprietà commutativa e distributiva. Se a=ai+aj+ak e si ha

Si dice prodotto vettoriale di un vettore a per un vettore b e si indica a∧b (leggasi a vettore b) il vettore che ha modulo eguale al modulo di a per il modulo di b per il seno dell'angolo convesso compreso fra i due vettori, direzione della perpendicolare al piano individuato dai due vettori, verso indicato dal medio della mano destra, quando con il pollice si indica il verso di a e con l'indice il verso di b. Se φ è l'angolo compreso tra i due vettori si ha |a∧b|=ab sen φ; il modulo del prodotto vettoriale rappresenta l'area del parallelogramma individuato dai due vettori. Il prodotto vettoriale di due vettori paralleli è nullo. Il prodotto vettoriale non gode della proprietà commutativa, poiché mutando l'ordine dei due fattori il prodotto vettoriale muta verso. Il prodotto vettoriale può esprimersi mediante il seguente determinante che ne dà l'espressione cartesiana:

da cui si ricava facilmente la proprietà distributiva del prodotto vettoriale. Si chiama prodotto misto di tre vettori a, b, c lo scalare a∧ b×c. Esso rappresenta il volume (con il segno) del parallelepipedo che ha come spigoli concorrenti in un punto i tre vettori a, b, c. Si chiama doppio prodotto vettoriale di tre vettori a, b, c il vettore (a∧b)∧c. Esso è un vettore parallelo al piano di a e di b. Non vale la proprietà associativa, cioè nella scrittura del doppio prodotto le parentesi sono essenziali.

Fisica: vettore applicato

È la combinazione di un vettore v e di un punto P; è rappresentato da un segmento orientato spiccato da un punto ben determinato detto punto di applicazione del vettore. Viene indicato con la scrittura (P, v) ed è individuato da sei scalari: le tre coordinate del punto P e le tre componenti del vettore v. Viene invece detto cursore la combinazione di un vettore e di una retta a esso parallela. La sua funzione è di rappresentare le forze, che possono venire spostate lungo una retta a loro parallela: di conseguenza non è sufficiente un vettore né un vettore applicato. Un cursore può venir rappresentato geometricamente mediante un vettore e una retta a esso parallela che passi per la sua origine, o mediante una retta orientata (asse) e uno scalare corrispondente al modulo della componente del vettore secondo l'asse. È individuato mediante la notazione (r, v), che corrisponde a cinque scalari: le quattro coordinate della retta nello spazio e il modulo della componente del vettore secondo l'asse.

Fisica: vettori polari e vettori assiali

I vettori possono essere distinti in vettori polari (o vettori propri) e in vettori assiali (o pseudovettori) secondo che le loro componenti cambino segno o no in seguito a un'inversione spaziale, cioè a una trasformazione che induce un cambiamento di segno delle componenti del vettore; un esempio di vettore assiale è il prodotto vettoriale di due vettori polari.

Fisica: equivalenza di segmenti

Astrattamente un vettore è una classe di equivalenza di segmenti equipollenti, aventi cioè stessa lunghezza, direzione e verso e per tale ragione ogni vettore può sempre pensarsi applicato nell'origine di un sistema di coordinate.

Matematica

Il concetto di vettore e il calcolo vettoriale si estendono dallo spazio tridimensionale allo spazio n-dimensionale e agli spazi vettoriali (vettore spazio). Un sistema di vettori v₁, v₂,..., v definito su un campo K può essere linearmente dipendente o indipendente secondo che esistano o meno n elementi di K, a₁, a₂,..., a_n non tutti nulli tali che a₁v₁+a₂v₂+... a_nv sia il vettore nullo. La dimensione di un sistema di vettori è il numero di vettori linearmente indipendenti che si possono estrarre dal sistema stesso. § Due vettori sono ortogonali quando il loro prodotto scalare, in uno spazio vettoriale di dimensione qualsiasi, è nullo. Un sistema di vettori è ortonormale quando è costituito da vettori ortonormali, cioè con modulo unitario (normalizzati) e ortogonali a due a due.