divisibilità

sf. [sec. XVI; da divisibile]. L'essere divisibile; in particolare: proprietà di un tutto di poter essere diviso in parti (vedi continuo, in senso logico-filosofico). § In matematica, proprietà di un numero di essere divisibile esattamente per un altro. I criteri di divisibilità sono delle regole che permettono di stabilire se un numero è divisibile per un altro, semplificando così i calcoli. I più noti e usati sono: divisibilità per 2, un numero è divisibile per 2 se termina con 0 o con cifra pari; divisibilità per 4, un numero è divisibile per 4 se le ultime due cifre a destra formano un numero divisibile per 4; divisibilità per 8, un numero è divisibile per 8 se le ultime tre cifre a destra formano un numero divisibile per 8; divisibilità per 5, 25, 125, ecc., i criteri sono analoghi a quelli per 2, 4, 8; infatti, un numero è divisibile per 5 se termina per 0 o per 5, è divisibile per 25 se il numero formato dalle ultime due cifre è divisibile per 25, ecc.; divisibilità per 10, 100, 1000, ecc., un numero è divisibile per 10, 100, 1000 se termina con uno, due, tre zeri; divisibilità per 3 e per 9, un numero è divisibile per 3 o per 9 se la somma delle sue cifre è divisibile per 3 o per 9; divisibilità per 7, un numero è divisibile per 7 se la differenza, in valore assoluto, tra il doppio della cifra delle unità (ultima cifra) e il numero formato dalle altre cifre è divisibile per 7; divisibilità per 11, un numero è divisibile per 11 se la somma delle cifre di posto pari meno la somma delle cifre di posto dispari è 0 o un multiplo di 11; divisibilità per 13, un numero è divisibile per 13 se la somma del quadruplo della cifra delle unità con il numero formato dalle rimanenti cifre è divisibile per 13. La validità di tutti questi criteri di divisibilità viene dimostrata partendo dalla rappresentazione polinomiale di un numero decimale e applicando opportunamente le proprietà associativa, dissociativa e distributiva, o usando qualche altro accorgimento. Per esempio, per dimostrare la validità del criterio di divisibilità per 7 si consideri un numero di tre cifre e lo si trasformi nel seguente modo: 100a₂+10a₁+a₀=100a₂+10a₁+20a₀-20a₀+a₀=21a₀+10(10a₂+a₁-2a₀). Ora 21a₀ è divisibile per 7, l'altra parte è divisibile per 7 se lo è 10a₂+a₁-2a₀ e questo è il numero formato dalle prime due cifre, 10a₂+a₁ meno il doppio della cifra delle unità. In generale, i criteri di divisibilità possono essere trovati servendosi della teoria delle congruenze. Un numero che è divisibile solo per l'unità e per se stesso è detto primo.