àlgebra della lògica

formulazione puramente algebrica delle relazioni logiche. Leibniz aveva già intuito l'analogia esistente tra la congiunzione e la disgiunzione di concetti e la moltiplicazione e l'addizione di numeri, senza per altro svilupparla e precisarla adeguatamente. Solo a opera di G. Boole (1815-64) si perviene a una applicazione sistematica delle operazioni di tipo matematico alla logica. Egli dette una prima formulazione dell'algebra della logica in Mathematical Analysis of Logic (1847), che rielaborò poi completamente in An Investigation of the Laws of Thought (1854), applicata alla teoria della probabilità. Colta l'analogia tra operazioni logiche e quelle dell'algebra consueta, Boole considera solo l'estensione dei termini per cui può parlare di classe, dando a questa parola un senso ben più ampio che nell'uso ordinario. Introduce infatti la classe universale, formata cioè dalla totalità degli oggetti sui quali verte il discorso, e la classe vuota, che non contiene nessun elemento. Assunti dei simboli per queste classi (1 e 0 rispettivamente), un simbolo per una classe qualsiasi (A) e uno per il suo complemento (1–A), opera su di essi con i normali metodi algebrici. Un particolare uso viene fatto della moltiplicazione, concepita come intersezione di classi; in particolare l'intersezione di una classe con se stessa è la classe stessa (AA=A). L'algebra così costruita può avere diverse interpretazioni in quanto indipendente da esse, ma vincolata solo dalle leggi di combinazione dei simboli impiegati. L'algebra della logica sviluppata da Boole era più una tecnica per risolvere problemi che non un sistema assiomatico e presentava diverse imperfezioni. Tuttavia la sua importanza, dal punto di vista logico, non risiede solo nel fatto che consentì di ottenere risultati ben più ampi e potenti di quelli permessi dai mezzi tradizionali, ma anche nell'impulso che dette allo sviluppo e allo studio della logica stessa. La formulazione booleana venne in seguito perfezionata da W. S. Jevons, J. Venn, C. S. Peirce ed E. Schröder, il quale dette all'algebra di Boole la forma definitiva (1890), mentre E. V. Huntington la presentò in forma strettamente assiomatizzata (1904). L'algebra della logica dell'Ottocento sta alla base dei recenti sviluppi della logica algebrica a opera di A. Tarski, A. Lindenbaum e M. H. Stone. Questa, dopo il 1930, costituisce una delle direzioni in cui si sviluppa la moderna logica matematica, in quanto l'uso di strutture algebriche, che sono piuttosto semplici e ammettono interpretazioni in altre strutture, riveste una notevole importanza nella metateoria delle strutture in generale, con particolare riguardo a quelle proprietà che sono di interesse logico. Va ricordato che alcuni autori designano con algebra della logica quella parte della teoria logica che può essere presentata senza l'impiego di quantificatori.