indeterminato

Lessico

agg. [sec. XIV; dal latino tardo indeterminātus]. Non determinato, che non ha limiti definiti: tempo indeterminato, quantità indeterminata; vago, incerto, non ben definito: progetti ancora indeterminata; rimandare a tempo indeterminato, a data da stabilire.

Matematica: generalità

Sono indeterminati i simboli x, y, z, ecc. che compaiono in espressioni matematiche, caratterizzati dal fatto che su di essi si suppone di operare algebricamente solo come si opera algebricamente su un determinato corpo, o, più in generale, su un determinato anello. Per esempio, considerando il corpo dei numeri reali, il polinomio

dove i coefficienti a₀,a₁,...,a_n sono dati numeri reali, è chiamato polinomio nell'indeterminato x. § Sono dette funzioni indeterminate e successioni indeterminate, le funzioni che non ammettono limite, né finito, né infinito. Per esempio, la successione 1, 0, 1,..., 1, 0, è indeterminata; la funzione y=sen (1/x) per x tendente a 0 è indeterminata. Le serie indeterminate sono quelle che non ammettono una somma, finita o infinita, per n tendente a infinito. Per le forme indeterminate, o di indeterminazione, vedi limite. § Problema indeterminato, problema geometrico, algebrico, ecc., per il quale il numero delle equazioni, fra loro indipendenti, che traducono le condizioni che devono essere soddisfatte dalle incognite, è minore del numero delle incognite. Un problema indeterminato ammette infinite soluzioni.

Matematica: analisi indeterminata

L'analisi indeterminata diofantea, è il settore della teoria dei numeri che si occupa della ricerca delle soluzioni intere di equazioni e sistemi di equazioni a coefficienti interi, in due o più incognite. Tali equazioni e sistemi sono detti aritmetici o diofantei. Il caso più semplice è rappresentato dall'equazione lineare ax+by=c, con a, b, c numeri interi, la cui equazione omogenea corrispondente è ax+by=0. Allora, se (x₀, y₀) è la soluzione generale dell'equazione omogenea e (x₁, y₁) è una soluzione particolare dell'equazione, ammesso che ne esista almeno una, la soluzione generale ha la forma: x=x₁+x₀, y=y₁+y₀. L'equazione, in cui siano a≠0, b≠0, ammette soluzioni intere se e solo se il massimo comun divisore di (a, b) divide c; in particolare, se il massimo comun divisore è uguale a 1, l'equazione è sempre possibile. Geometricamente le soluzioni sono i punti a coordinate intere che stanno sulla retta ax+by=c del piano riferito a un sistema cartesiano ortogonale. Per determinare una soluzione x₁, y₁ dell'equazione esistono metodi basati sull'algoritmo euclideo delle divisioni successive, oppure sulla teoria delle congruenze. In base a quest'ultima una soluzione particolare si ottiene risolvendo la congruenza ax≡c (mod b). Per esempio, sia da risolvere la 3x+5y=2; si considera la 3x≡2 (mod 5) che, fra le altre, ammette la soluzione x=14; questa, sostituita nell'equazione data, permette di ricavare y=-8. Questi risultati si possono estendere immediatamente a equazioni del tipo

(con a, b,..., c, k interi), e trovare che, se almeno uno dei coefficienti a, b,..., c non è nullo l'equazione ammette soluzioni intere se e solo se il massimo comun divisore di (a, b,..., c) è un divisore di k; anche in questo caso la soluzione generale dell'equazione è la seguente:

dove (x₀,y₀,...,z₀) è la soluzione generale dell'equazione omogenea corrispondente all'equazione data e (x₁, y₁,..., z₁) è una soluzione particolare. Alla risoluzione effettiva si può arrivare riducendo successivamente il numero delle incognite. In modo analogo si arriva a determinare le soluzioni intere di un sistema lineare di m equazioni in n incognite. Tra i casi più noti di analisi indeterminata di grado maggiore di 1, è classica la risoluzione aritmetica dell'equazione pitagorica x²+y²=z². Una soluzione è data da x=y=z=0. Per cercare le altre soluzioni, posto z≠0, dividiamo per z² e, posto x´=x/z e y´=y/z, otteniamo l'equazione x´²+y´²=1. Possiamo quindi considerare x´ e y´ come coordinate dei punti della circonferenza avente il centro nell'origine e raggio unitario. Poiché a noi interessa che x e y siano interi, cerchiamo i punti della circonferenza aventi coordinate razionali. Consideriamo allora il fascio di rette aventi centro nel punto A=(-1,0). A tale fascio appartiene la retta y´=0 che interseca la circonferenza in A e in B=(1,0). Ogni altra retta del fascio ha equazione, al valore di λ, data da x´=λy´-1 e interseca la circonferenza, oltre che in A, nel punto di coordinate

Si vede che x´ e y´ sono razionali se e solo se λ è razionale. Si ha quindi che i punti a coordinate razionali della circonferenza sono dati dal punto B=(1,0) e dai punti di coordinate

con u, v interi qualsiasi. Il punto B si ottiene infatti per u=1 e v=0 e tutti gli altri punti si ottengono ponendo λ=u/v con v≠0. Si ha che tutte e sole le terne (x, y, z) che soddisfano all'equazione pitagorica sono assegnate dalle formule x=u²-v², y=2uv, z=u²+v². Importante esempio di studio nel campo dell'analisi indeterminata è l'equazione aritmetica x+y=z che, per n=2, si riduce all'equazione pitagorica; per essa P. de Fermat, nel 1637, enunciò, senza dimostrarla, la seguente proposizione (ultimo teorema di Fermat): se n è intero maggiore o uguale a 3, non esistono terne (x, y, z) di interi non nulli per i quali l'equazione sia soddisfatta. La dimostrazione è stata raggiunta dal matematico Andrew Wiles nel 1994, con un grande sforzo e utilizzando tecniche matematiche molto complesse, sconosciute ai tempi di Fermat.