diofantèo

agg. [dal nome di Diofanto di Alessandria]. In matematica: A) Equazioni diofantee, equazioni algebriche a coefficienti interi delle quali si ricercano le soluzioni costituite da numeri interi. La più semplice, di forma ax=b, ammette un'unica eventuale soluzione per b multiplo di a. L'equazione lineare diofantea a due incognite di forma ax+by=c ammette soluzioni solo nel caso in cui c sia multiplo del massimo comune divisore di a e b. Tra le equazioni diofantee di secondo grado hanno interesse quelle riducibili alle forme seguenti: x²-y²=a; x²+y²=z², dette anche pitagoriche in relazione al corrispondente problema geometrico di determinare triangoli rettangoli i cui lati abbiano misure esprimibili con numeri interi; x+y=z, con n intero, dette equazioni diofantee di Fermat, o anche, semplicemente, equazioni di Fermat. Fermat, nel sec. XVII, dichiarò di aver dimostrato che non ammettevano soluzioni per n maggiore di due (ultimo teorema di Fermat). L'ultimo teorema di Fermat è stato dimostrato nel 1994 dal matematico inglese Andrew Wiles. Nel 1900, al congresso internazionale dei matematici (ICM) svoltosi a Parigi, il matematico tedesco D. Hilbert aveva posto il seguente problema: determinare un algoritmo generale per dire se un sistema di equazioni diofantee ammette soluzioni intere (decimo problema di Hilbert). Nel 1970 all'ICM svoltosi a Nizza, il matematico russo J. V. Matijasevič ha dimostrato che non può esistere un tale algoritmo. Il problema se esiste un algoritmo generale che determini se un sistema di equazioni diofantee ammetta soluzioni date da numeri razionali è ancora non risolto. B) Analisi diofantea o geometria diofantea, studio della risoluzione in numeri interi o razionali delle equazioni diofantee; in tale studio si usano metodi di geometria algebrica. Nel 1983 il matematico tedesco G. Faltings ha dimostrato la congettura di Mordell che le curve di genere >1 su un campo algebrico hanno un numero finito di punti razionali. Da ciò segue che l'equazione di Fermat x+y+z=0 ha solamente un numero finito di soluzioni razionali per n>3: tale dimostrazione non è mai stata trovata e neppure è stata dimostrata la falsità dell'affermazione. C) Approssimazione diofantea, particolare settore della teoria dell'approssimazione.